Aula - Gráficos cartesianos (continuação).

Estamos aprendendo a ler um gráfico. Vamos trabalhar com o gráfico "posição X tempo". Para este exercício vamos introduzir o conceito de "inclinação" de uma reta.

Chamamos inclinação de uma reta o ângulo que a reta faz com o eixo horizontal do gráfico. Se este ângulo é menor que noventa graus a inclinação é positiva, de outro modo, se o ângulo é maior que noventa graus a inclinação é negativa.

Vamos usar a animação chamada " O andarilho ". Na caixa "of graphs" selecione a opção "one". Na caixa "Top graphs" selecione a opção "distance" e na caixa "interval" selecione a opção 15 segundos.

Vamos tentar entender os seguintes aspectos do gráfico:

Qual o significado do gráfico assumir a forma de uma reta?

Qual o significado da reta ser mais ou ser menos inclinada?

Qual o significado da inclinação positiva? E da inclinação negativa?

Abra a animação e a lista de exercícios. Elas aparecerão em janelas separadas. Redimencione as janelas lado a lado e...bom trabalho!


Para ter acesso à lista de exercícios clique aqui.

Para abrir a animação clique aqui.

Exercício - Gráficos cartesianos ( posição versus tempo ).

Estamos estudando os gráficos cartesianos usados na cinemática. Temos gráficos que descrevem a evolução com o tempo das posições ocupadas por um objeto; outros descrevem a evolução da velocidade e, finalmente, outros que descrevem o comportamento da aceleração de um objeto em movimento. Desta vez vamos nos concentrar nos gráficos do tipo "posição versus tempo".

Na animação selecione as caixas " Type of graphs" para a opção "one". Na caixa "Top graphs" deve-se selecionar "distance". Na caixa "interval" selecione quinze segundos. Nos exercícios a seguir vamos tentar entender os seguintes aspectos:

• Como devemos "ler" no gráfico o significado de uma reta horizontal ?
• Como devemos "ler" no gráfico o significado de uma reta inclinada ?

Abra a animação e o texto dos exercícios. Eles estarão em janelas diferentes. Coloque as janelas lado a lado e bom trabalho.


Para abrir o texto dos exercícios siga o link .

Para abrir a animação siga o link.

Aula - gráficos cartesianos.

Em ciências, quando estudamos um fenômeno da natureza, realizamos medidas. Essas medidas, geralmente, são expressas por meio de números. Obter informações muito frequentemente significa um estudo cuidadoso de colunas de números. Tudo muito tedioso e cansativo.

Existe uma maneira alternativa de expor essas medidas. Podemos transformar números em imagem. Assim criamos os gráficos. Estudar uma imagem é muito mais agradável e informativo. Uma imagem revela aspectos de um fenômeno que seriam percebidos com muita dificuldade estudando diretamente colunas de números.

Na cinemática estudamos o movimento através dos gráficos cartesianos. Temos os gráficos da posição X tempo, da velocidade X tempo e da aceleração X tempo.

A animação que vamos usar chama-se " O andarilho ". Nela estudamos o movimento de um jovem representado pelo bonequinho, no seu trajeto de sua casa para a escola.

Abra a animação. Se o desenho da Escola e os gráficos não aparecerem clique em "restart".Para iniciar o movimento deve-se clicar sobre a figura do aluno e arrastar o mouse. Enquanto botão esquerdo do mouse permanecer pressionado o tempo "corre", do contrário o tempo pára. As demais caixas de controle são as seguintes:

• A caixa "Type of graphs" seleciona o número de gráficos que serão exibidos simultaneamente na tela. É possível exbir de uma só vez os gráficos da distância, da velocidade e da aceleração de um mesmo movimento do aluno.
• As caixas "Top graphs","second graphs" e "Third graphs" selecionam os tipos de gráficos a serem exibidos.
• A caixa "filtering" se refere à exibição da imagem. O padrão é "Heavy"
• A caixa "interval" seleciona o intervalo de tempo a ser exibido no eixo horizontal.
• Se o gráfico ficar muito pequeno, ou seja,se ele ficar concentrado em torno do eixo dos tempos clique na caixa "rescale" para mudar a escala do eixo vertical.
• Para limpar os dados clique em "restart".

Movimente o aluno de todas maneiras que imaginar e estude com cuidado os gráficos resultantes de cada movimento. É importante aprender a "ler" uma figura. Isto só será adquirido com exercícios.

Para ter acesso a animação clique aqui.

Exercício - Adição vetorial na representação gráfica - parte 01.

O "modelo das setas" que estamos usando para representar as grandezas vetoriais é completo, isto é, por meio dele podemos determinar tanto o módulo como direção e o sentido de um vetor. No ensino médio, no entanto, vamos usar as setas apenas para ter uma ideia da direção e do sentido dos vetores. Para o cálculo dos módulos vamos aplicar outros métodos. Por isto não necessitamos ser muito rigorosos no desenho das setas.

Calculamos o módulo usando esse modelo somente em três casos especiais:

• Para vetores de mesma direção e sentido;
• Para vetores de mesma direção e sentidos opostos;
• Para vetores com direções perpendiculares entre si.
  

Os exercícios a seguir têm como objetivo treinar o cálculo da resultante de dois ou mais vetores usando o método gráfico. Você deve resolve-los usando a animação, não fazendo os desenhos. Abra a animação e as listas de exercícios e redimensione as janelas.

Para abrir a animação clique aqui.

Para abrir a primeira lista de exercícios clique aqui.

Para abrir a segunda lista de exercícios clique aqui.

Exemplo - Campo magnético.

Dois campos magnéticos têm importância vital para a vida no nosso planeta: O campo magnético gerado pelo sol e o campo magnético gerado pela Terra. Os campos, é claro, não podem ser vistos por isso são representados por linhas ( ou superfícies ). Esse tipo de representação nos fornece informações sobre a intensidade e a direção na qual são aceleradas as partículas elétricas ali presentes.

O primeiro vídeo é uma edição de várias animações produzidas pelo SOHO ( Observatório do Sol e da heliosfera ), um projeto conjunto das agências espaciais americanas ( NASA ) e européia ( ESA ).Nele vemos, em seqüência, as linhas do campo magnético solar, a sua participação na formação das manchas solares e dos imensos jatos de matéria expelidos da superfície para o espaço ( flare ).

A imensa quantidade de energia magnética acumulada na atnosfera solar ocasionalmente é liberada de forma explosiva. Isso ejeta para o espaço grandes quantidades da matéria solar no estado de plasma ( considerado um estado da matéria. A matéria que constitui o sol, devido as altas energias envolvidas, não encontra-se nos estados normais ( sólido, líquido ou gasoso ) mas no quarto estado da matéria, chamado plasma.Nesse estado a matéria é uma " sopa " de prótons, elétrons, radiação eletromagnética e outras coisas bem estranhas. Todas muito perigosas para a vida em geral e para a nossa saúde em particular.Esse material, expelido continuamente pelo sol forma o vento solar e se dirige em alta velocidade em nossa direção.

Felizmente temos duas linhas de defesa. Uma delas é nossa atmosfera, a outra o campo magnético terretre. Na animação o campo é mostrado através de superfícies de campo magnético. A atmosfera absorve parte do vento solar e o campo desvia outra parte. Nesse processo forma-se um fluxo de partículas ( elétrons ) na direção dos polos onde devido a sua interação com as moléculas presentes no ar emitem luz formando as auroras boreais ( e austrais ).

O segundo vídeo não é uma animação. É uma das primeiras, senão a primeira, filmagem da aurora boreal em movimento vista de cima da atmosfera. Neste caso de bordo da estação espacial internacional. As faixas de luzes esverdeadas ondulantes marcam o local das concentrações de partículas do vento solar desviadas pelo campo magnético. Observe ainda, logo no inicio do filme, logo abaixo dos painéis solares da estação uma faixa estreita acima da superfície terrestre. Ali está a nossa atmosfera vista de perfil. Nesta pequena faixa está toda a história, todos os sonhos, todas as conquistas da nossa espécie. Dá o que pensar, não é mesmo?

Aula - Terceira lei de Newton.

Vamos estudar a terceira lei do movimento de Newton em cinco animações . É importante que da primeira vez você assista as animações em sequência ( a animação vai"rodar" no automático ). Para isto clique na seta vermelha e, tenha paciência, observe atentamente cada animação. A tradução livre dos textos você encontrará abaixo. Para assistir passo a passo e retroceder clique nas setas duplas.

• QUADRO 01: A terceira lei do movimento de Newton afirma que " Se um objeto A exerce uma força sobre outro objeto B ( chamada ação ), então o objeto B exerce uma força sobre o objeto A ( chamada reação ), ao mesmo tempo, com mesma intensidade e direção mas em sentido oposto.

• QUADRO 02: O astronauta de mochila vermelha empurra o astronauta de mochila azul Aplicando nele uma certa força. Ao mesmo tempo é afetado por uma força de igual intensidade, mesma direção mas de sentido oposto originada do astronauta de mochila azul. Como ambos têm a mesma massa eles se afastam com velocidades de intensidades iguais.

• QUADRO 03: Os astronautas estão ligados por uma corda de massa considerada desprezível. O astronauta de mochila vermelha puxa a corda. A corda, por sua vez, transmite a força para o astronauta de mochila azul, exercendo sobre ele uma força igual a que recebeu. Ao mesmo tempo o astronauta de mochila vermelha é afetado por uma força de igual intensidade e direção mas de sentido oposto aplicada pela corda mas originada do outro astronauta. Como os dois astronautas têm a mesma massa eles se aproximam com velocidades de intensidades iguais.

• QUADRO 04: O astronauta empurra a nave espacial exercendo sobre ela uma certa força. Ao mesmo tempo é afetado por uma força de igual intensidade e direção mas de sentido oposto originada da nave espacial. Como as suas massas são diferentes eles se afastam com velocidades de intensidades diferentes. O astronauta, seguindo a segunda lei do movimento ( R = m. a ), como tem massa menor se afasta com velocidade maior.

• QUADRO 05: Assim funciona a terceira lei do movimento de Newton.

Como sempre, por gentileza, estude com atenção a animação .

Aula - A Distância e o Deslocamento.

As grandezas físicas distância e deslocamento que usamos quando estudamos o movimento dos objetos não são equivalentes. Na verdade elas descrevem grandezas completamente distintas.

A distância ( ou espaço percorrido ) é uma grandeza escalar. Deve ser medida sobre a trajetória descrita pelo objeto que se movimenta. Pense em um automóvel que trafega por uma estrada entre as cidades A e B. Para medir o espaço percorrido por ele para ir de uma cidade a outra devemos levar em conta todas as curvas, todas as subidas e descidas da estrada. Falamos então em movimento escalar e definimos uma velocidade escalar média como:

Velocidade escalar média = distância / intervalo tempo gasto no percurso.

Isto é uma simplificação. Afinal a velocidade é uma grandeza vetorial. No entanto, quando lidamos com um movimento com direção fixa ou sobre uma linha esse tipo de simplificação facilita o estudo. Não se deve tentar matar um mosquito usando um canhão, não é mesmo?

Para outros tipos de movimento devemos usar o canhão. isto é , o método vetorial. Com isto não falamos mais em distância. Usamos no seu lugar o vetor deslocamento.

O vetor deslocamento mede a mudança de posição do objeto. É representado por uma seta que une a posição inicial à posição final. Portanto o seu módulo não deve ser medido sobre a trajetória descrita pelo objeto mas sobre a seta. Nesse caso quanto falamos em distância estamos nos referindo ao módulo do vetor. Definimos agora uma velocidade vetorial média como:

Velocidade vetorial média = vetor deslocamento / intervalo de tempo gasto no percurso.

Para formar uma imagem dos conceitos tratados assista a animação a seguir. Note que a distância é medida ao longo da curva percorrida pela bola entre os pontos A e B. O vetor deslocamento é representado pela seta que vai de A até B. O tamanho da seta, com sempre, é o módulo do vetor deslocamento.

Por favor, siga o link

Imagem: fisica.ufs.br

Exemplo - A segunda lei de Newton.

No espaço observamos mais facilmente a segunda lei do movimento em ação. Podemos supor que lá não há forças agindo a não ser aquelas que controlamos. Vamos então trabalhar com uma animação do movimento de uma motocicleta espacial. Esse veículo é usado para movimentar carga e pessoas entre duas naves. Aqui ele é visto de cima. Note que sua propulsão é constituída por quatro foguetes perpendiculares entre si.

Ao assistir a animação pela primeira vez deixe-a "rodar" no automático. Para isto clique na seta vermelha. Para avançar passo a passo ou retornar clique nas setas vermelhas duplas à esquerda e à direita da tela. A tradução livre dos textos de cada quadro é:

Quadro 01- Se uma força é aplicada num objeto ele acelera. A intensidade da aceleração é diretamente proporcional a intensidade da força aplicada e inversamente proporcional a massa do objeto;

Quadro 02 - A resultante não nula das forças aplicadas num objeto causa aceleração. Observe o vetor velocidade ( seta verde ) e a direção do jato;

Quadro 03 - A resultante não nula das forças aplicadas num objeto causa desaceleração. Observe o vetor velocidade ( seta verde ) e a direção do jato;

Quadro 04 - A resultante não nula das forças aplicadas num objeto numa direção perpendicular à direção do movimento causa mudança de direção. observe a velocidade ( seta verde ) e a direção do jato;

Quadro 05 - Quando duas motocicletas têm a mesma massa, possui aceleração com intensidade maior aquela que é submetida a uma força maior;

Quadro 06 - Quando duas motocicletas têm massas diferentes e nelas são aplicadas forças de mesma intensidade, tem aceleração de intensidade maior aquela que possui menor massa.

Quadro 07- Logo temos a segunda lei do movimento de Newton: R = m.a


Estude a animação com cuidado. Lembre-se que força e aceleração são grandezas vetoriais.

Aula - princípio da relatividade de Galileu.

A medida da velocidade com que um objeto se move é relativa ao referencial do qual o seu movimento é observado. Como exemplo vamos analisar a queda de uma bola abandonada do alto do mastro de um barco. Este exemplo foi discutido pelo próprio Galileu em um dos seus livros. A questão é como o movimento é visto de dois referenciais diferentes, um se movimentando em relação ao outro com velocidade constante.

Primeiro temos o próprio barco como referencial. Dentro do barco um homem observa a bola cair. Para o homem o barco está em repouso. Ele vê a bola caindo na vertical ( para representar o vetor velocidade imagine uma seta apontando para baixo, na vertical ). O homem vê a bola descrevendo uma trajetória reta e caindo ao pé do mastro.

O segundo referencial é a superfície da Terra de onde o movimento é observado por uma mulher. Ela observa o barco se movimentando para a direita com velocidade constante ( para representar o vetor velocidade imagine uma seta na horizontal apontada para a direita ). Como ela vê o movimento da bola?

Abra a animação. A resposta é dada pelo princípio da relatividade de Galileu. Segundo ele para alguém que observa a bola do outro referencial ( a mulher ) a velocidade é a resultante da soma de dois movimentos. O movimento para baixo, visto pelo homem ( seta na vertical ), mais o movimento para a direita do primeiro referencial, o barco, visto pela mulher ( seta na horizontal ).

O vetor resultante da adição dos dois vetores é representado por uma seta inclinada para a direita. A mulher vê então a bola descrevendo uma curva. Observe que para ela também a bola cai ao pé do mastro. Note ainda que em ambos os referenciais o tempo de queda é o mesmo.

Para melhor entendimento da questão observe atentamente a animação clicando no link.

Imagem: Galileu Galilei

Exercício - Adição de vetores na representação gráfica. Parte 02.

Como a operação de adição possui a propriedade associativa ela pode ser extendida para mais de dois vetores. Na representação gráfica para realizar a operação deslocamos , sem mudar a inclinação, o segundo vetor até o início dele coincidir com a ponta do primeiro vetor. A seguir, deslocamos o terceiro até seu início coincidir com a ponta do segundo e assim sucessivamente até o último vetor. A resultante será representada pela seta que liga o início do primeiro à ponta do último vetor. Como a adição vetorial possui também a propriedade comutativa isso pode ser feito em qualquer ordem.

Na Física existem muitas grandezas vetoriais. No entanto, na animação a seguir usaremos as forças como exemplo de grandeza vetorial. Na adição vetorial chamamos o vetor soma de vetor resultante.

Na animação, utilize a caixa de opções e selecione, sucessivamente, dois, três, quatro e cinco vetores. Clique na ponta da seta e arraste. Em seguida, vá dispondo cada um deles da maneira que achar conveniente e observe, de cada vez, a adição sendo realizada. O vetor resultante tem a cor vermelha.

Aproveite e faça o seguinte exercício: Selecione dois vetores. Modifique cada um deles de tal maneira que a resultante se torne nula.

Repita o processo para três e quatro vetores.

Por favor, siga o link.

Aula - Subtração de vetores na representação gráfica.

Vamos definir a operação de subtração vetorial como a adição de um vetor com o seu oposto.

Observe que a maneira que a matemática encontrou de nos comunicar que duas grandezas vetoriais têm o mesmo módulo, a mesma direção mas têm sentidos opostos é através do sinal negativo. Assim o vetor -A tem o mesmo módulo, a mesma direção que o vetor A mas seu sentido é oposto. Graficamente isto corresponde a dar um giro de 180° na seta que representa o vetor A. Ao vetor -A chamamos vetor oposto do vetor A.

Vamos usar o que foi exposto acima para definir a operação de subtração de dois vetores como a adição de um vetor com o oposto do outro. Assim o vetor C, resultado da subtração dos vetores "A e B" ( A - B ) é definido com o soma do vetor A com vetor "-B". Isto é: ( A + ( - B ) ).

Para obter uma visão gráfica do processo assista a animação a seguir mas antes observe que:

A ) A operação de subtração não é comutativa;

B ) No último quadro da animação é mostrada a " prova real " da operação. Somamos o vetor C ao vetor B e obtemos de volta o vetor A.

Por favor, siga o link.

Aula - Adição vetorial na representação gráfica.

Antes de começarmos, um lembrete: Estamos acostumados a somar grandezas escalares e para isto usamos a aritmética do ensino fundamental que você aprendeu e domina. No entanto, para operar com os vetores será necessário aprender uma nova maneira de somar. Se você pensar bem verá que não poderia ser diferente uma vez que as grandezas vetoriais são completamente diversas das grandezas escalares.

Abra a animação. Na representação gráfica a adição vetorial é realizada do seguinte modo:

Para somar o vetor B ao vetor A deslocamos a seta que representa o vetor B de tal maneira que o inicio dela fique posicionado sobre a ponta da seta que representa o vetor A. O vetor soma, aqui chamado vetor C, será representado pela seta que liga o inicio da seta que representa o vetor A à ponta da seta que representa o vetor B.

Observe que:

A ) Se, ao deslocarmos as setas, por um descuido, mudarmos a sua inclinação ou o seu tamanho, não temos mais a representação do vetor original;

B ) A operação de adição vetorial possui a propriedade comutativa, ou seja, dá no mesmo somar o vetor A ao vetor B ou somar o vetor B ao vetor A.

C ) A operação de adição vetorial possui a propriedade associatica:

(vetor A + vetor B) + vetor C = vetor A + (vetor B + vetor C)

Para ter uma idéia de como o processo funciona abra a animação. Ela ilustra graficamente o que acabamos de analisar.

Exemplo - A experiência de Galileu na lua.

O movimento em queda livre dos objetos próximos da superfície terrestre foi estudado por Galileu. Ele constatou que esse tipo de movimento independe da massa do objeto. Logo, se abandonarmos um martelo e uma pena de galinha ao mesmo tempo, de uma mesma altura, eles devem atingir o solo ao mesmo tempo e com a mesma velocidade.

Se para Galileu falar já não era fácil, comprovar as suas afirmações então era impossível. Pois para realizar a experiência que verificasse a sua tese ele necessitava eliminar a resistência que o ar oferecia ao movimento dos corpos, isto é, ele precisava obter vácuo. Claro, na época, não havia condições técnicas para realizar essa façanha. Se ao menos Galileu pudesse viajar até a lua...

Galileu não podia mas os astronautas da Apolo XV fizeram a viagem e lá realizaram ( e filmaram ) a experiência de Galileu. No vídeo a seguir o astronauta Dave Scott diz:

Bem, na minha mão esquerda eu tenho uma pena, na minha mão direita um martelo. Imagino que uma das razões para estarmos aqui hoje é por causa do cavalheiro chamado Galileu. Há muito tempo atrás ele fez uma descoberta muito significatica sobre objetos em queda em campos gravitacionais; e nós pensamos - que lugar seria melhor para confirmar as suas descobertas do que na lua? Então pensamos em fazer isso para vocês aqui. A pena, apropriadamente, é de um falcão da Academia da Força Aérea. Eu deixarei cair a pena e o martelo e, assim esperamos, eles atingirão o solo ao mesmo tempo....

O que acham disso?...

Isso mostra que o senhor Galileu estava correto em suas descobertas...