Aula - Os Fusos Horários do Brasil.

É de se esperar que ao meio dia o sol esteja a pino. Afinal, o dia é determinado pelo movimento do sol no céu. Claro, devido a forma esférica do nosso planeta isto não é possível em todos os lugares se todos seguirem a mesma hora. Levando ao pé da letra, cada cidade deveria ter então o seu próprio horário. Isto, certamente, é impraticavel.

 Em 1884, na cidade de Washington, Estados Unidos da América, realizou-se uma conferência sobre este assunto com a participação de 24 países. Como resultado decidiu-se que o tempo seria medido a partir da hora de Londres e pela criação dos Fusos Horários. Afinal todos merecem ter o sol a pino sobre suas cabeças quando o relógio marca meio dia.

A Terra foi dividida como uma laranja: Em gomos. Criou-se 24 gomos, medindo 15°. delimitados pelos meridianos medidos a partir do meridiano que passa pelo Observatório de Greenwich ( próximo a Londres). Como a Terra gira de Oeste para Leste, a partir do horário de Greenwich atrasamos os relógios de uma hora, para cada fuso horário, na direção oeste. Na direção Leste, ao contrário, os relógios são adiantados uma hora para cada fuso horário.

Até 2008 o Brasil era dividido em 4 fusos horários.

Fusos horários do Brasil - até 2008.

Primeiro Fuso Horário: Fernando de Noronha (Pe) - Relógios atrasados 2 horas em relação ao Meridiano de Greenwich

Segundo Fuso Horário: Estados da Região Sul, Sudeste, Nordeste,Goiás, Distrito Federal, Tocantins, Amapá e parte leste do Pará - Relógios atrasados 3 horas em relação ao Meridiano de Greenwich.

Terceiro Fuso Horário: Estados de Mato Grosso do Sul, Mato Grosso, Rondônia, Amazonas, Roraima e parte oeste do Pará - Relógios atrasados 4 horas em relação ao Meridiano de Greenwich.

Quarto Fuso Horário: Estado do Acre e parte oeste do Amazonas - Relógios atrasados 5 horas em relação ao Meridiano de Greenwich.

Em 2008, foi estabelecido por lei três fusos horários para o Brasil.

Fusos horários do Brasil

Hoje o nosso país é dividido em três fusos horários. A descrição de cada um deles e a hora neste momento estão a seguir:

Hora de Fernando de Noronha (PE)

Duas horas a menos em relação ao Meridiano de Greenwich.

Fernando de Noronha

Hora do Rio de Janeiro

Três horas a menos em relação ao Meridiano de Greenwich.

Rio de Janeiro

Hora válida para os estados das regiões Sul, Sudeste e Nordeste, Goiás, Distrito Federal, Tocantins, Amapá e Pará.

Hora de Manaus

Quatro horas a menos em relação ao Meridiano de Greenwich.

Manaus

Hora válida para os estados de Mato Grosso do Sul, Mato Grosso, Rondônia, Amazonas, Roraima e Acre.

O horário oficial do Brasil é dado pela hora de Brasília. Os detalhes podem ser vistos aqui.

Applets dos Relógios: 24timezones

Imagens:
Fusos Horários do Brasil - novo: geo-victor.blogspot.com

Fusos Horários do Brasil: grupocmpa-esaex.blogspot.com

Exemplo - A direção do vetor aceleração centrípeta.

No ensino médio, começamos o estudo da cinemática pelo movimento retilíneo. Neste caso, todos os vetores envolvidos, isto é, o deslocamento, a velocidade e a aceleração, têm a direção da reta sobre a qual o corpo se desloca. O mesmo não acontece quando a tajetória do movimento é curvilínea.

Na cinemática, o movimento "natural", isto é, o movimento que se mantém sem a necessidade da aplicação de uma força, é o movimento retilíneo uniforme.

Por outro lado, as leis de Newton afirmam que o efeito da ação de uma força sobre um objeto é a variação da velocidade com que ele se move e que a aceleração é dada pela força dividida pela massa do objeto. Ora, a variação de um vetor pode se dar pela variação do seu módulo, da sua direção ou dos dois ao mesmo tempo.

Logo, se a direção ou o módulo ( ou ambos ) da velocidade de um objeto varia, podemos ter certeza, isto se dá como resultado da ação de uma força. Em outros termos: Existe uma aceleração agindo.

Num movimento de trajetória curvilínea a direção da velocidade está sempre mudando. Logo, existe uma aceleração.

Veja a animação abaixo. Temos uma carro (quadrado azul) em movimento sobre uma estrada curvilínea ( linha verde). O seu velocímetro marca sempre 80 km/h, isto é, o módulo da sua velocidade linear não varia.

Clique no botão ">" , na parte inferior à esquerda, para iniciar a animação e  em "]]" , na mesma posição, para pausar o movimento.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

A trajetória do movimento é curvilínea. Logo, a direção da velocidade muda a cada ponto. Como foi visto acima deve existir então um vetor aceleração responsável pela mudança da direção. Este vetor se chama aceleração centrípeta.

Observe que o vetor aceleração (seta vermelha), aponta sempre para o centro curva ou, se você preferir, aponta sempre para dentro da parte interna da curva.

Observe também que o tamanho da seta varia. Isto indica que o módulo da aceleração varia. Note que a seta é maior nos trechos onde a curva é mais fechada. Isto acontece porque o módulo da aceleração centrípeta é inversamente proporcional ao raio da curva. Quanto maior o raio (curva mais aberta), menor o módulo da aceleração.

Imagem: www.infoescola.com

Aula - O vetor aceleração no movimento curvilíneo uniforme.

 Num movimento só existe aceleração quando há variação do vetor velocidade. Lembre-se que estamos trabalhando com grandezas vetoriais. Logo, para verificar se existe variação temos que analisar tanto o módulo como a direção do vetor.

Imagine-se ao volante de um carro que trafega por uma estrada reta. Neste caso, a direção do vetor velocidade do carro  não muda. Assim basta olhar para o velocímetro do carro e, se verificar, por exemplo, que ele marca ao longo do tempo sempre  80 km/h, você terá certeza que a aceleração do carro é nula.

Imagine-se agora ao volante de um carro que trafega por um trecho curvo de uma estrada. Você observa o velocímetro e nota que ele está fixo na marca de 80 km/h. Então, será que agora, como no caso anterior, você pode afirmar com segurança que a aceleração é nula?

Embora o módulo do vetor velocidade não varie (a marcação do velocímetro é constante), a direção da velocidade está variando a todo instante pois a trajetória do carro é curva. Logo, existe uma aceleração e ela é a responsável pela mudança da direção do movimento.

Na animação abaixo representamos o carro (quadrado azul) numa estrada curva ( linha verde). Clique no botão ">" , na parte inferior à esquerda, para iniciar a animação e  em "]]" para pausar o movimento. Lembre-se que o velocímetro do carro sempre marca 80 km/h.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Este tipo de movimento de trajetória curvilínea onde o módulo da velocidade linear é constante é chamado de Movimento Curvilíneo Uniforme. Nele a aceleração, chamada aceleração centrípeta, reponsável pela mudança de direção, aponta sempre para o centro da curva.

Note que a seta vermelha que representa o vetor aceleração aumenta de tamanho quando o carro trafega pelas partes mais fechadas da curva. Isto mostra que o módulo da aceleração centrípeta está variando.

Observe a figura acima. Ela mostra que o módulo da aceleração centrípeta é inversamente proporcional ao raio do trecho da curva pela qual o carro passa naquele movento, isto é, quanto mais fechada a curva maior é o módulo da aceleração.

Lembre-se: Estamos trabalhando com a velocidade linear constante.

Aula - O vetor aceleração no movimento circular uniforme.

 No movimento de um objeto só existe aceleração quando há variação do vetor velocidade. Lembre-se que estamos trabalhando com grandezas vetoriais. Logo, para verificar se existe variação temos que analisar tanto o módulo como a direção do vetor.

Imagine-se ao volante de um carro que trafega por uma estrada reta. Neste caso, a direção do vetor velocidade do carro  não muda. Assim, basta olhar para o velocímetro do carro e se verificar, por exemplo, que ele marca ao longo do tempo sempre  80 km/h, você terá certeza que a aceleração do carro é nula.

Imagine-se agora ao volante de um carro que trafega por um trecho semicircular de uma estrada. Você observa o velocímetro e nota que ele está fixo na marca de 80 km/h. Então, será que agora, como no caso anterior, você pode afirmar com segurança que a aceleração é nula?

O módulo do vetor velocidade não varie uma vez que a marcação do velocímetro é constante. Isto não basta. Temos que verificar se existe variação da direção da velocidade.

A direção da velocidade está variando a todo instante pois a trajetória do carro é circular. Logo, existe uma aceleração e ela é a responsável pela mudança da direção do movimento.

Na animação abaixo representamos o carro (quadrado azul) numa estrada semicircular ( linha verde). Clique no botão ">" , na parte inferior à esquerda para iniciar a animação e  em "]]" para pausar o movimento. Lembre-se que o velocímetro do carro sempre marca 80 km/h.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

 Este tipo de movimento de trajetória circular com o módulo da velocidade linear constante é chamado de Movimento Circular Uniforme. No MCV a aceleração, chamada aceleração centrípeta, tem módulo também constante mas a sua direção varia e o seu sentido aponta sempre para o centro da circunferência (ponto B).

Aula - O vetor velocidade e a trajetória de um objeto.

Quando surge a necessidade de  descrever uma grandeza física nosso primeiro impulso é, quase sempre, usar apenas um número e uma unidade de medida. - Comprei meio quilo de café, afirmamos. Neste caso, estas informações são plenamente suficientes como resposta a uma pergunta direta.

Isto nos parece tão natural, tão simples. A natureza, no entanto, é um pouco mais complexa. Para algumas grandezas físicas é necessário fornecer  mais algumas informações se quisermos nos fazer entender.

A velocidade, por exemplo. Observe a animação abaixo. Imagine um carro (quadrado azul) trafegando por uma estrada (linha verde). Se desejo informar-me da velocidade do veículo a cada instante de tempo devo ler o velocímetro. Ali, num dado instante, leio que a velocidade é de 80 km/h, por exemplo.

Talvez isto lhe pareça suficiente. No entanto, se desejamos descrever o movimento do carro com exatidão é conveniente informar também a direção e o sentido da velocidade.

Na animação a velocidade instantânea do carro é representada por uma seta. A cada instante a velocidade têm sempre a direção tangente à trajetória naquele ponto.

Clique no botão ">" , na parte inferior à esquerda, para iniciar a animação em "]]" para pausar o movimento.

Observe que o motorista do carro diminui a velocidade nas curvas e acelera nos trechos retos da estrada. Naturalmente esta ação provoca uma variação no módulo da velocidade.  Isto nos é informado pelo tamanho da seta vermelha que representa o vetor velocidade.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Exercício - Método da área sob a curva, velocidade variável.

Para um gráfico cartesiano do tipo Velocidade X tempo a área sob a curva do gráfico, isto é, a área entre a curva e o eixo horizontal,  mede a distância percorrida pelo objeto cujo movimento o gráfico descreve.

Na animação abaixo temos o gráfico velocidade X tempo de um objeto em movimento. Desta vez, porém, o movimento é acelerado. Neste caso a aceleração é constante e, portanto, a velocidade cresce linearmente com o tempo. O gráfico da velocidade é uma reta.

Clique no ponto azul e arraste. Você marcará o instante de tempo inicial desejado. Faça o mesmo para o botão vermelho e marcará o instante de tempo final. A área sob a curva é marcada em rosa e a sua medida, que fisicamente significa a distância percorrida no intervalo de tempo que você escolheu, será dada em " e = ..."

Note que  a velocidade é positiva do início do movimento até o relógio marcar 5,0 segundos. Neste intervalo de tempo a velocidade vai diminuindo de valor. O objeto está se movimentando no sentido positivo da sua trajetória. Quando o relógio marca 5,0 segundos a velocidade se anula e o sentido do movimento se inverte. Daí para frente a velocidade é negativa e cresce em módulo. O objeto está agora se movimentando no sentido negativo da sua trajetória.

Quando calculamos a área sob a curva teremos uma área positiva até 5,0 s e negativa a partir daí. A área total, isto é, a distância percorrida pelo objeto, é dada pela soma algébrica ( levando em conta o sinal ) das duas áreas parciais.
  

Vamos fazer alguns exercícios. A resposta será dada em e = ...

• Marque o instante inicial do movimento em 3,0s e o final em 5,0 s
• Marque o instante inicial do movimento em 5,0 s e o instante final em 7,0 s.
  
• Marque o instante inicial do movimento em 3,0 s e o instante final em 7,0 s. Note que ás áreas marcadas encima e embaixo da curva são iguais. A área é positiva entre 3,0 e 5,0 s e negativa entre 5,0 e 7,0 s. Isto significa que o objeto se movimentou no sentido positivo da trajetória até  o relógio marcar 5,0s, deu meia volta e retornou ao ponto de partida. No final das contas ele não saiu do lugar. A distância. claro, é nula.
• Calcule a distância percorrida entre o inicio do movimento (t=0)e t= 9,0s.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Exercício - Método da área sob a curva, área negativa.

Para um gráfico cartesiano do tipo Velocidade X tempo a área sob a curva do gráfico, isto é, a área entre a curva e o eixo horizontal,  mede a distância percorrida pelo objeto cujo movimento o gráfico descreve.

Na animação abaixo temos o gráfico velocidade X tempo de um objeto com velocidade constante. Clique no ponto azul e arraste. Você marcará o instante de tempo inicial desejado. Faça o mesmo para o botão vermelho e marcará o instante de tempo final. A área sob a curva é marcada em rosa e a sua medida, que fisicamente significa a distância percorrida no intervalo de tempo que você escolheu, será dada em " d = ..."

Note que neste caso a velocidade é negativa. Isto significa que o objeto está se movimentando no sentido negativo do eixo. Quando calculamos a área sob a curva teremos uma área negativa. Claro, não existe uma área negativa em termos geométricos. Lembre-se, no entanto, que estamos dando um significado físico para a área: Para nós ela significa a distância que o objeto percorreu.

 Neste caso, a área negativa  significa apenas que o objeto  percorreu esta distância no sentido negativo do eixo.
  

Vamos fazer alguns exercícios:

•  Calcule a distância percorrida entre o início do movimento e o instante 6,0 segundos.
• Calcule a distância percorrida entre os instantes 2,2 s e 10 s.
• Calcule a distância percorrida  entre os instantes 4,5 s e 7,5 s.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Exercício - Método da área sob a curva.

Para um gráfico cartesiano do tipo Velocidade X tempo a área sob a curva do gráfico mede a distância percorrida pelo objeto cujo movimento o gráfico descreve.

Na animação abaixo temos o gráfico velocidade X tempo de um objeto com velocidade constante. Clique no ponto azul e arraste. Você marcará o instante de tempo inicial desejado. Faça o mesmo para o botão vermelho e marcará o instante de tempo final. A área sob a curva é marcada em rosa e a sua medida, que fisicamente significa a distância percorrida no intervalo de tempo que você escolheu, será dada em " d = ..."

Vamos fazer alguns exercícios:

•  Calcule a distância percorrida entre o início do movimento e o instante 4,0 segundos.
• Calcule a distância percorrida entre os instantes 2,0 s e 10 s.
• Calcule a distância percorrida  entre os instantes 5,5 s e 9,5 s.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Aula - Adição de dois vetores pelo método do paralelogramo.

A adição vetorial pelo método gráfico apresenta dois caminhos para ser realizada. Um deles é o Método do Paralelogramo.

O Método do Paralelogramo é útil quando queremos realizar a adição de dois vetores. Ele segue os seguintes passos:

1. Desloque a seta que representa um dos vetores para um ponto a sua escolha ( ponto O );
2. Repita o processo com o outro vetor de tal maneira que a origem do vetor fique também sobre o ponto O;
3. Trace uma paralela ao primeiro vetor passando pela ponta do segundo vetor;
4. Trace uma paralela ao segundo vetor passando pela ponta do primeiro vetor;
5. O vetor soma, ou vetor resultante, será representado pela seta com origem no ponto O e extremidade no vértice do paralelogramo formado pelas retas e setas oposto ao do ponto O.

Na animação a seguir clique sobre o botão " >> "para iniciar. Um clique para cada passo. Para retornar ao início clique em " I<<".

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)


Note que ao se deslocar as setas não se deve mudar a sua direção nem o seu tamanho. Mudar a direção significa mudar o vetor.

Aula - Multiplicação de um vetor por um número.

Quando realizamos operações com grandezas vetoriais temos que levar em conta também a direção e o sentido do vetor. Além disto as operações de adição e multiplicação são definidas de maneira diferente para os vetores.

Vamos trabalhar com a multiplicação de um número real "a" por um vetor "v". Neste caso temos:

• A direção do vetor v não se altera;
• O módulo do vetor é multiplicado pelo número a;
• Se o número a que multiplica o vetor v  é positivo então o sentido do vetor v não se altera;
• Se o número a que multiplica o vetor v é negativo então o sentido do vetor v é invertido, isto é, a seta que representa o vetor v sofre um giro de 180° graus;
• Se o vetor v é multiplicado pelo número zero então o vetor v se anula, isto é, a seta que representa o vetor v degenera num ponto.

Use a animação abaixo para treinar esses conceitos. Com o mouse arraste o seletor e multiplique o vetor V pelo número "a".

Faça a = 0, verá que o vetor "a . v" se anula. Faça a = 1 e depois a = -1, verá que o vetor "a . v" não se altera no primeiro caso e inverte o sentido no segundo.

Mude o valor de "a" a seu gosto e observe o que acontece com o vetor "a . V".

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Aula - Adição de dois vetores de mesma direção e sentidos opostos.

Quando os vetores a serem somados são colineares, isto é, têm a mesma direção a aplicação do método gráfico para a adição de vetores torna-se um pouco confusa. Isto certamente é uma má notícia.

Por outro lado temos uma vantagem neste caso: Podemos calcular o módulo do vetor soma sem grandes preocupações com a escala das figuras.

Na animação é realizada a adição de dois vetores colineares e de sentidos opostos. Nela, seguimos o método do polígono. Note que desenhamos as setas dos vetores uma debaixo da outra para evitar que o desenho fique confuso.

Estude a animação passo a passo. Para retornar ao início clique no botão " I<< ". Clique no botão " >> " para avançar. Um clique para cada passo.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Você poderá também pode calcular a soma dos vetores usando a regra alternativa a seguir. Com isto se poupa o trabalho de desenhar as setas. Ei-la :

"O vetor resultante da soma de dois vetores de mesma direção e sentidos opostos será um vetor com esta mesma direção. O sentido do vetor resultante será o mesmo do vetor de maior módulo. O módulo do vetor resultante terá o valor da diferença entre os módulos dos dois vetores que foram somados ".

Aula - Adição de dois vetores de mesma direção e sentido.

Quando os vetores a serem somados são colineares, isto é, têm a mesma direção, a aplicação do método gráfico para a adição de vetores torna-se um pouco confusa. Isto certamente é uma má notícia.

Por outro lado temos uma vantagem neste caso: Podemos calcular o módulo do vetor soma sem grandes preocupações com a escala das figuras.

Na animação abaixo somamos dois vetores colineares de mesma direção e sentido. Nela é usado o método do polígono. Note que desenhamos as setas dos vetores uma debaixo da outra para evitar que o desenho fique confuso.

Estude cada passo para realizar esta adição. Para retornar ao início da animação clique no botão " I<< ". Clique no botão " >> " para avançar. Um clique para cada passo.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Você poderá também calcular a soma dos vetores pela regra alternativa dada a seguir. Com ela se poupa o trabalho de desenhar as setas. Ei-la:

"O vetor resultante da soma de dois vetores de mesma direção e mesmo sentido será um vetor com esta mesma direção e sentido. O módulo do vetor resultante terá o valor da soma dos módulos dos dois vetores ".

Exercício - Vetores equipolentes e vetores opostos.

Duas características da representação gráfica dos vetores merecem um cuidado especial:

• Por definição duas setas paralelas, do mesmo tamanho e apontando no mesmo sentido representam o mesmo vetor.
  
• Por definição duas setas paralelas, do mesmo tamanho e apontando para sentidos opostos representam vetores opostos. Algebricamente para obter um vetor oposto multiplicamos o vetor original por " - 1 ". Em termos geométricos esta operação equivale a dar um giro de 180° na seta.

Vamos usar a animação a seguir para estudar esses conceitos. Clique nas setas e arraste. Coloque as setas de tal modo que você possa compara-las. Depois responda:

a. Quais os critérios que se deve levar em conta para se afirmar que um vetor é igual
( ou equipolente ) a um outro vetor?

b. Os vetores D e F são vetores opostos?

c. Os vetores G e A são vetores iguais?

d. Os vetores F e E são vetores iguais?

e. Os vetores B e C são veotres opostos?

f. Os vetores G e C são vetores opostos?

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)





Applet construido com o solftware Livre Geogebra.

Exercício - Adição vetorial pelo método gráfico.

Usamos uma seta para representar graficamenmte uma grandeza vetorial. Este método de representação gráfica é chamado " modelo das setas".

Claro, este método deve possibilitar que as grandezas vetoriais, ou os vetores, sejam somados, multiplicados, divididos ou subtraidos. Vamos estudar agora como realizar estas operações matemáticas com as "setas" .

Para somar dois ou mais vetores pelo método gráfico seguimos as seguintes regras:


A ) - Arraste a seta que representa o primeiro vetor a ser somado sem mudar a sua direção e sentido.

B ) - Arraste a seta que representa o próximo vetor a ser somado de tal maneira que a "cauda" da seta que representa o segundo fique sobre a "ponta" do primeiro.

C ) - Repita o processo para os demais vetores.

D ) - O vetor soma será representado pela seta que parte da "cauda" da seta que representa o primeiro vetor e vai até a "ponta" da seta que representa o último deles.

Abra a animação. Nela você irá realizar a adição de quatro setas que representam os vetores. Use as regras acima. Faça as operações indicadas em azul.

Note que o primeiro vetor (seta preta) é fixo, isto é, já está colocado em sua posição. Isto não tem nada de especial é apenas uma característica deste exercício. Faça a adição a partir dele. Ao final clique na caixa para mostrar o vetor soma ( em vermelho ).

Ao usar a animação da várias maneiras indicadas notará que o vetor soma não muda quando se altera a ordem na qual a adição é realizada. Isto se dá porque a adição vetorial possui as propriedades comutativa e associativa.

Aula - Adição de vetores pelo método do polígono.

A adição de vetores pelo método gráfico pode ser realizada de duas maneiras. Uma delas é o Método do Polígono.

O Método do Polígono é mais adequado quando queremos realizar a soma de mais de dois vetores de uma só vez. Para isto devemos seguir os seguintes passsos:

1. Desloque a seta que representa o primeiro vetor para um ponto a sua escolha (ponto O);
2. Desloque o segundo vetor de tal maneira que a sua origem fique colocada sobre a ponta do primeiro;
3. Repita o processo para cada um dos vetores;
4. O vetor soma, ou vetor resultante, será representado pela seta com origem no ponto O e extremidade (ponta) sobre a ponta do último vetor a ser deslocado.

No exemplo a seguir vamos percorrer esses passos na soma de quatro vetores. Usaremos a animação abaixo. Para retornar ao início clique no botão " I<< ". Clique no botão " >> " para avançar. Um clique para cada passo.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

A adição vetorial possui as propriedades comutativa e associativa. Portanto, não importa a ordem que você desloca as setas, o resultado será sempre o mesmo.

Aula - Unidade de medida de ângulo: radiano.

Medir uma grandeza significa compara-la com uma outra grandeza do mesmo tipo. Para medir ângulos usamos duas unidades de medida: Grau e radiano.

Um radiano é definido como a media do ângulo central que se obtém dividindo o comprimento de um círculo pelo seu raio.

Acompanhe pela figura abaixo. Tomamos o raio "R" do círculo de centro C. Esticamos esse "raio" sobre o círculo e obtemos o arco AB. O ângulo central ACB mede, por definição, 1 radiano.

Se você desejar fazer uma comparação entre as duas medidas de ângulo verá que 1 radiano equivale a 57,3 graus, aproximadamente.

Assim, dividindo o comprimento de um circulo por seu raio obtemos a medida do ângulo de uma volta. Ele mede dois "pi" radianos. Note que uma medida em radiano é definida como a divisão de um comprimento por outro. Logo não tem dimensão. É apenas um número.

imagem:educar.sc.usp.br

Abra a animação. Nela temos os ângulos medidos em radianos. Clique no ponto "C" e arraste.

Coloque o ponto "C" sobre o ponto "B". Um dos ângulos mede dois "pi" radianos e o outro é nulo. Em radianos o ângulo reto mede metade de "pi" radianos e o ângulo raso mede um "pi" radianos .

Brinque um pouco com a animação e construa esses ângulos.

Exercício - Adição vetorial, propriedades comutativa e associativa .

A adição vetorial possui as propriedades comutativa e associativa. Portanto, na soma de vários vetores, não importa a ordem que se faça a operação. O resultado será sempre o mesmo.

Abra a animação. Primeiro lembre-se que, na representação gráfica dos vetores, duas setas do mesmo tamanho, mesma direção e mesmo sentido representam o mesmo vetor. Assim, clique sobre cada seta e arraste.

Respeitando as regras da adição vetorial coloque cada seta em posição. Verifique que, não importa a ordem, o resultado da operação será sempre a seta vermelha. Certifique-se disto colocando a seta vermelha na posição, isto é, o início da seta fica sobre o início do primeiro vetor ( ou primeira seta ) e a ponta sobre a ponta do último vetor ( ou última seta ).

Abra a animação e repita a soma de todas as maneiras que for capaz.

Imagem: pt.wikipedia.org

Exercício - Adição de vetores com direções perpendiculares entre si.

De maneira geral, não usamos o modelo gráfico de vetores ( modelo das setas ) para calcular o módulo do vetor. Isto pode ser feito mas exigiria certo cuidado com as escalas dos desenhos. Normalmente só usamos as "setas" para determinar a direção e o sentido.

No entanto, existem três situações especiais onde o módulo pode também ser facilmente calculado. A primeira delas é quando pretendemos somar dois vetores com mesma direção e sentido. A segunda quando os dois vetores têm mesma direção mas sentidos opostos. A terceira delas é quando os vetores a serem somados têm direções perpendiculares entre si. Neste caso a regra é:

- O vetor soma é calculado pelo algoritmos usual do modelo das setas, isto é, ponta de um vetor junto com o início do outro.


- Note que os vetores formam um triângulo retângulo. Assim o módulo do vetor soma é dado pelo Teorema de Pitágoras. O módulo de cada vetor é um dos catetos.

Abra a animação. Ajuste o tamanho dos vetores a e b através dos controles. Depois vá marcando as caixas ( clique em cada uma delas sucessivamente ) e verifique como a soma deve ser feita. A barra lateral ( em verde ) mostra o módulo do vetor soma. Teste o método fazendo a=6 e b=8 e depois faça a=4 e b=3.

Imagem: educar.sc.usp.br

Exercício - Adição de dois vetores de mesma direção e sentidos opostos.

De maneira geral, não usamos o modelo gráfico dos vetores ( modelo das setas ) para calcular o módulo do vetor. Isto pode ser feito mas exigiria certo cuidado com as escalas dos desenhos. Normalmente só usamos as "setas" para determinar a direção e o sentido.

No entanto, existem três situações especiais onde o módulo da soma de dois ou mais vetores pode também ser facilmente calculado. A primeira é quando a soma se dá entre vetores de mesma direção e sentido. A segunda delas é quando os vetores a serem somados têm a mesma direção mas os sentidos são opostos. Neste caso a regra é:

- O vetor soma tem a direção e sentido do vetor de maior módulo.

- O módulo é a diferença dos módulos dos vetores a serem somados.

Abra a animação. Ajuste o tamanho dos vetores a e b através dos controles. Depois vá marcando as caixas ( clique em cada uma delas sucessivamente ) e verifique como a soma deve ser feita. A barra lateral ( em verde ) mostra o módulo do vetor soma.


Imagem: apostiladigital.orgfree.com