Exercício - Composição de velocidades com direções perpendiculares.

Sabemos que a velocidade de um objeto é sempre relativa a um referencial. Portanto, a medida da velocidade de um objeto varia de acordo com o observador. Em certas situações a velocidade que ele mede é a composição de duas ou mais velocidades.

Imagine um barco navegando num rio. Ele faz a travessia do rio numa direção perpendicular à correnteza. A velocidade do barco que o piloto mede olhando o velocímetro é a mesma quando medida por um observador na margem do rio?

Para responder essa questão vamos utilizar o conceito matemático de adição de dois vetores com direções perpendiculares entre si que você pode recordar como se faz consultando este link.

Abra a animação. Clique em "click to begim..".  Aberta a animação você verá  um barco num rio. Na parte inferior temos três controles. Do lado esquerdo temos o cursor de "River velocity" para controlar a velocidade da correnteza, medida em relação à margem ( seta vermelha). No centro temos o cursor "Boat velocity" que controla a velocidade do barco, medida em relação à agua (seta azul). 

Do lado direito temos o cursor "Theta" que controla o ângulo de inclinação do barco. Note as setas no meio do rio. Elas representam a soma vetorial, ou a composição das velocidades. A seta preta representa a velocidade do barco medida por um observador  na margem que estamos procurando. Clique em "start" para acionar a animação.

Coloque "Theta" em 90 deg ( 90° ).  Ajuste a velocidade da correnteza para zero e a do barco para 8,0 m/s. Ao acionar a animação o barco atravessa o rio na perpendicular. As medidas da velocidade do barco feitas pelo piloto e por um observador na margem são as mesmas.

Abra a animação Coloque "Theta" em 90 deg ( 90° ). Ajuste a velocidade do barco em 8 m/s e a da correnteza em 6 m/s. A velocidade do barco em relação à margem, a seta preta, será a soma vetorial dos dois vetores com direções perpendiculares. O barco atravessa  o rio na diagonal.

Note que, embora o piloto ajuste o leme para uma direção perpendicular à correnteza, vista da margem, a trajetória seguida pelo barco é uma diagonal. Isto o faz atingir a outra margem num ponto abaixo do local imaginado pelo piloto. Observe o desenho das setas sendo somadas.

Com isto podemos responder  à pergunta feita no início do texto: Não, as medidas da velocidades não são as mesmas. O que o observador na margem do rio mede é a composição de duas velocidades, isto é, a velocidade do barco medida em relação à agua somada  à velocidade da correnteza medida em relação à margem do rio.

Animação produzida por: B. Surendranath Reddy em General Physics Applets.

Imagem: Barco polícia portuária, Porth Health, Londres. 1872. Via: www.heritage-explorer.co.uk

Exercício - Composição de velocidades de mesma direção.

Sabemos que a velocidade de um objeto é sempre relativa a um referencial. Portanto, a medida da velocidade de um objeto varia de acordo com o observador. Em certas situações a velocidade que ele mede é a composição de duas ou mais velocidades. 

Imagine um barco navegando num rio. A velocidade do barco que o piloto mede olhando o velocímetro é a mesma quando medida por um observador na margem do rio?

Para responder essa questão vamos utilizar o conceito matemático de adição de dois vetores que você pode recordar como se faz consultando este link , para a adição de dois vetores de mesma direção e sentido; e este outro link, para a adição de dois vetores de mesma direção e sentidos opostos.

Abra a animação. Clique em "click to begim..".  Aberta a animação você verá  um barco num rio. Na parte inferior temos três controles. Do lado esquerdo temos o cursor de "River velocity" para controlar a velocidade da correnteza, medida em relação à margem ( seta vermelha). No centro temos o cursor "Boat velocity" que controla a velocidade do barco, medida em relação à agua (seta azul). 

Do lado direito temos o cursor "Theta" que controla o ângulo de inclinação do barco. Note as setas. Elas representam a soma vetorial, ou a composição das velocidades. A seta preta representa a velocidade do barco medida da margem que estamos procurando. Clique em "start" para acionar a animação.

Coloque "Theta" em 0 deg. Ajuste a velocidade do barco em 10 m/s e a da correnteza em 5 m/s. A velocidade do barco em relação à margem, a seta preta, será a soma vetorial dos dois vetores de mesma direção e sentido: 15 m/s. O barco desce o rio.

Abra a animação.  Coloque "Theta" em 180 deg. Agora você tem dois vetores de igual direção e sentidos opostos. A soma vetorial das velocidades dá 5 m/s. O barco sobe o rio.

Vamos repetir o processo. Desta vez inverta a situação, isto é, faça a velocidade do barco de 5 m/s e a da correnteza a 10 m/s. A soma vetorial dá -5 m/s, isto é, o barco desce o rio de ré.

Com isto podemos responder  à pergunta feita no início do texto: Não, as medidas da velocidades não são as mesmas. O que o observador na margem do rio mede é a composição de duas velocidades, isto é, a velocidade do barco medida em relação à agua somada  a velocidade da correnteza.

Animação produzida por: B. Surendranath Reddy em General Physics Applets.

Exemplo - A direção do vetor aceleração centrípeta.

No ensino médio, começamos o estudo da cinemática pelo movimento retilíneo. Neste caso, todos os vetores envolvidos, isto é, o deslocamento, a velocidade e a aceleração, têm a direção da reta sobre a qual o corpo se desloca. O mesmo não acontece quando a tajetória do movimento é curvilínea.

Na cinemática, o movimento "natural", isto é, o movimento que se mantém sem a necessidade da aplicação de uma força, é o movimento retilíneo uniforme.

Por outro lado, as leis de Newton afirmam que o efeito da ação de uma força sobre um objeto é a variação da velocidade com que ele se move e que a aceleração é dada pela força dividida pela massa do objeto. Ora, a variação de um vetor pode se dar pela variação do seu módulo, da sua direção ou dos dois ao mesmo tempo.

Logo, se a direção ou o módulo ( ou ambos ) da velocidade de um objeto varia, podemos ter certeza, isto se dá como resultado da ação de uma força. Em outros termos: Existe uma aceleração agindo.

Num movimento de trajetória curvilínea a direção da velocidade está sempre mudando. Logo, existe uma aceleração.

Veja a animação abaixo. Temos uma carro (quadrado azul) em movimento sobre uma estrada curvilínea ( linha verde). O seu velocímetro marca sempre 80 km/h, isto é, o módulo da sua velocidade linear não varia.

Clique no botão ">" , na parte inferior à esquerda, para iniciar a animação e  em "]]" , na mesma posição, para pausar o movimento.

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A trajetória do movimento é curvilínea. Logo, a direção da velocidade muda a cada ponto. Como foi visto acima deve existir então um vetor aceleração responsável pela mudança da direção. Este vetor se chama aceleração centrípeta.

Observe que o vetor aceleração (seta vermelha), aponta sempre para o centro curva ou, se você preferir, aponta sempre para dentro da parte interna da curva.

Observe também que o tamanho da seta varia. Isto indica que o módulo da aceleração varia. Note que a seta é maior nos trechos onde a curva é mais fechada. Isto acontece porque o módulo da aceleração centrípeta é inversamente proporcional ao raio da curva. Quanto maior o raio (curva mais aberta), menor o módulo da aceleração.

Imagem: www.infoescola.com

Aula - O vetor aceleração no movimento curvilíneo uniforme.

 Num movimento só existe aceleração quando há variação do vetor velocidade. Lembre-se que estamos trabalhando com grandezas vetoriais. Logo, para verificar se existe variação temos que analisar tanto o módulo como a direção do vetor.

Imagine-se ao volante de um carro que trafega por uma estrada reta. Neste caso, a direção do vetor velocidade do carro  não muda. Assim basta olhar para o velocímetro do carro e, se verificar, por exemplo, que ele marca ao longo do tempo sempre  80 km/h, você terá certeza que a aceleração do carro é nula.

Imagine-se agora ao volante de um carro que trafega por um trecho curvo de uma estrada. Você observa o velocímetro e nota que ele está fixo na marca de 80 km/h. Então, será que agora, como no caso anterior, você pode afirmar com segurança que a aceleração é nula?

Embora o módulo do vetor velocidade não varie (a marcação do velocímetro é constante), a direção da velocidade está variando a todo instante pois a trajetória do carro é curva. Logo, existe uma aceleração e ela é a responsável pela mudança da direção do movimento.

Na animação abaixo representamos o carro (quadrado azul) numa estrada curva ( linha verde). Clique no botão ">" , na parte inferior à esquerda, para iniciar a animação e  em "]]" para pausar o movimento. Lembre-se que o velocímetro do carro sempre marca 80 km/h.

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Este tipo de movimento de trajetória curvilínea onde o módulo da velocidade linear é constante é chamado de Movimento Curvilíneo Uniforme. Nele a aceleração, chamada aceleração centrípeta, reponsável pela mudança de direção, aponta sempre para o centro da curva.

Note que a seta vermelha que representa o vetor aceleração aumenta de tamanho quando o carro trafega pelas partes mais fechadas da curva. Isto mostra que o módulo da aceleração centrípeta está variando.

Observe a figura acima. Ela mostra que o módulo da aceleração centrípeta é inversamente proporcional ao raio do trecho da curva pela qual o carro passa naquele movento, isto é, quanto mais fechada a curva maior é o módulo da aceleração.

Lembre-se: Estamos trabalhando com a velocidade linear constante.

Aula - O vetor aceleração no movimento circular uniforme.

 No movimento de um objeto só existe aceleração quando há variação do vetor velocidade. Lembre-se que estamos trabalhando com grandezas vetoriais. Logo, para verificar se existe variação temos que analisar tanto o módulo como a direção do vetor.

Imagine-se ao volante de um carro que trafega por uma estrada reta. Neste caso, a direção do vetor velocidade do carro  não muda. Assim, basta olhar para o velocímetro do carro e se verificar, por exemplo, que ele marca ao longo do tempo sempre  80 km/h, você terá certeza que a aceleração do carro é nula.

Imagine-se agora ao volante de um carro que trafega por um trecho semicircular de uma estrada. Você observa o velocímetro e nota que ele está fixo na marca de 80 km/h. Então, será que agora, como no caso anterior, você pode afirmar com segurança que a aceleração é nula?

O módulo do vetor velocidade não varie uma vez que a marcação do velocímetro é constante. Isto não basta. Temos que verificar se existe variação da direção da velocidade.

A direção da velocidade está variando a todo instante pois a trajetória do carro é circular. Logo, existe uma aceleração e ela é a responsável pela mudança da direção do movimento.

Na animação abaixo representamos o carro (quadrado azul) numa estrada semicircular ( linha verde). Clique no botão ">" , na parte inferior à esquerda para iniciar a animação e  em "]]" para pausar o movimento. Lembre-se que o velocímetro do carro sempre marca 80 km/h.

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 Este tipo de movimento de trajetória circular com o módulo da velocidade linear constante é chamado de Movimento Circular Uniforme. No MCV a aceleração, chamada aceleração centrípeta, tem módulo também constante mas a sua direção varia e o seu sentido aponta sempre para o centro da circunferência (ponto B).

Aula - O vetor velocidade e a trajetória de um objeto.

Quando surge a necessidade de  descrever uma grandeza física nosso primeiro impulso é, quase sempre, usar apenas um número e uma unidade de medida. - Comprei meio quilo de café, afirmamos. Neste caso, estas informações são plenamente suficientes como resposta a uma pergunta direta.

Isto nos parece tão natural, tão simples. A natureza, no entanto, é um pouco mais complexa. Para algumas grandezas físicas é necessário fornecer  mais algumas informações se quisermos nos fazer entender.

A velocidade, por exemplo. Observe a animação abaixo. Imagine um carro (quadrado azul) trafegando por uma estrada (linha verde). Se desejo informar-me da velocidade do veículo a cada instante de tempo devo ler o velocímetro. Ali, num dado instante, leio que a velocidade é de 80 km/h, por exemplo.

Talvez isto lhe pareça suficiente. No entanto, se desejamos descrever o movimento do carro com exatidão é conveniente informar também a direção e o sentido da velocidade.

Na animação a velocidade instantânea do carro é representada por uma seta. A cada instante a velocidade têm sempre a direção tangente à trajetória naquele ponto.

Clique no botão ">" , na parte inferior à esquerda, para iniciar a animação em "]]" para pausar o movimento.

Observe que o motorista do carro diminui a velocidade nas curvas e acelera nos trechos retos da estrada. Naturalmente esta ação provoca uma variação no módulo da velocidade.  Isto nos é informado pelo tamanho da seta vermelha que representa o vetor velocidade.

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Aula - Vetor velocidade angular - Direção e sentido.

O vetor velocidade linear ( a nossa velocidade comum ) tem a mesma direção do  vetor deslocamento linear. Os dois vetores têm a mesma direção. Isto pode nos levar a pensar que o vetor velocidade sempre tem a mesma direção do vetor deslocamento.

Não é verdade. Isto não acontece, por exemplo, com a velocidade angular. O vetor velocidade angular faz parte de uma classe diferente de vetor. Ele pertence a classe dos vetores  chamados "Vetores axiais".

A velocidade angular é uma grandeza física que mede a "rapidez" com que um objeto gira. Claro, se o objeto gira então ele o faz em torno de um eixo de rotação. Os vetores axiais têm a direção deste eixo de rotação. O eixo é, por definição, perpendicular ao plano de rotação do objeto.

Abra a animação. Nela temos uma roda girante e a seta que representa o vetor velocidade angular da roda. A direção da seta é, claro, ao longo do eixo de rotação. Mas e o sentido do vetor?

O sentido do vetor é uma convenção, isto é, não existe uma razão física para a sua escolha. A convenção que usamos é chamada "Regra da mão direita".

A regra se aplica da seguinte maneira: Com a mão direita aberta junte os dedos e envolva a roda. Os dedos, menos o  polegar, devem apontar no sentido em que a roda está girando. O polegar, por sua vez,  indicará o sentido do vetor velocidade angular. Se a roda inverte o sentido da sua rotação a seta apontará no sentido oposto.

Com a animação aberta treine um pouco a aplicação da regra. Ela é muito útil. Entre outras aplicações ela será usada no estudo da eletricidade e do magnetismo.

Animação produzida pelo Prof. David M. Harrison, do Departamento de Física - Universidade de Toronto.

Aula - Adição de dois vetores perpendiculares entre si.

O método gráfico de adição de vetores (modelo das setas) que estamos usando é completo. Fornece módulo, direção e sentido do vetor soma, mas para isto devemos usar uma escala conveniente. No ensino médio não damos muita importância para a escala. Geralmente nos contentamos em obter a direção, o sentido e o módulo aproximado do vetor resultante.

Em certas situações especiais podemos obter o valor do módulo com exatidão. Uma dessas situações surge quando somamos dois vetores com direções perpendiculares entre si. Neste caso os vetores e a resultante  formam um triângulo retângulo e isto nos permite calcular o módulo pelo teorema de Pitágoras.

Na animação abaixo usamos o método do paralelogramo para somar dois vetores perpendiculares entre si. Esta situação é muito comum na Física. Ela aparece quando queremos calcular as componentes perpendiculares de um vetor.Por isto você deve estudar a animação com bastantes atenção.

Na a animação clique no botão "]<<" para retornar ao início da apresentação e vá clicando no botão ">>" para avançar a apresentação passo a passo.

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Aula - Subtração de vetores. Modelo gráfico.

A subtração do vetor a pelo vetor b pode ser definida como a soma do vetor a com vetor oposto do vetor b.

Em termos matemáticos temos:

Em termos geométricos o vetor oposto é um vetor com o mesmo módulo e direção do vetor original e com sentido inverso, isto é, a seta que representa o vetor sofreu um giro de 180 graus.

Vamos usar a animação abaixo para subtrair o vetor b do vetor a. Clique no botão " ]<< " para retornar ao inicio. Clique no botão " >> "  para avançar a animação passo a passo.

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Aula - Multiplicação de um vetor por um número.

Quando realizamos operações com grandezas vetoriais temos que levar em conta também a direção e o sentido do vetor. Além disto as operações de adição e multiplicação são definidas de maneira diferente para os vetores.

Vamos trabalhar com a multiplicação de um número real "a" por um vetor "v". Neste caso temos:

• A direção do vetor v não se altera;
• O módulo do vetor é multiplicado pelo número a;
• Se o número a que multiplica o vetor v  é positivo então o sentido do vetor v não se altera;
• Se o número a que multiplica o vetor v é negativo então o sentido do vetor v é invertido, isto é, a seta que representa o vetor v sofre um giro de 180° graus;
• Se o vetor v é multiplicado pelo número zero então o vetor v se anula, isto é, a seta que representa o vetor v degenera num ponto.

Use a animação abaixo para treinar esses conceitos. Com o mouse arraste o seletor e multiplique o vetor V pelo número "a".

Faça a = 0, verá que o vetor "a . v" se anula. Faça a = 1 e depois a = -1, verá que o vetor "a . v" não se altera no primeiro caso e inverte o sentido no segundo.

Mude o valor de "a" a seu gosto e observe o que acontece com o vetor "a . V".

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Exercício - Componentes perpendiculares de um vetor.

Temos trabalhado com os vetores usando a representação gráfica ( as setas ). No entanto, existe uma outra maneira de representar os vetores: a representação algébrica. Nela representamos os vetores pelas suas coordenadas.Vamos usar as coordenadas cartesianas.

Então os vetores são representados, no espaço, por uma trinca de números (x,y,z). No ensino médio trabalhamos com os vetores no plano. Para isto basta fazer "z" nulo. Ficamos com (x,y,0) = (x,y).

Na animação a seguir usamos as coordenadas mas o objetivo é trabalhar com as componentes. Entre com os valores das coordenadas nas respectivas caixas. A seguir clique em "resume" para criar o vetor. Observe as componentes sobre os eixos.

Seja criativo, digite coordenadas positivas e negativas. Se quiser trabalhar com os vetores no plano faça uma das coordenadas com valor nulo.

Siga o link e bom divertimento.

Aula - Componentes perpendiculares de um vetor.

Para estudar as componentes de um vetor sobre dois eixos perpendiculares entre si vamos usar o conceito matemático de projeção de um segmento sobre uma reta. Usamos duas direções perpendiculares entre si pois, se você observar com cuidado, verá que elas são indepedentes uma da outra, ou seja, a projeção de uma sobre a outra é nula.

Falando de física. É importante entender que o vetor representa uma grandeza. Logo, se o vetor tem uma componente numa direção isto significa que a grandeza tem "um efeito" naquela direção.

Se empurramos um objeto fazendo a força numa direção inclinada em relação à superfície temos que fazer uma força maior do que faríamos se a força fosse aplicada na horizontal para obter o mesmo efeito. Isto acontece por que parte da força está sendo usada para tentar levantar o objeto não para empurra-lo.

Os módulos da componentes de um pode ser facilmente calculado através das fórmulas:

Exercício - Adição vetorial na representação gráfica - parte 01.

O "modelo das setas" que estamos usando para representar as grandezas vetoriais é completo, isto é, por meio dele podemos determinar tanto o módulo como direção e o sentido de um vetor. No ensino médio, no entanto, vamos usar as setas apenas para ter uma ideia da direção e do sentido dos vetores. Para o cálculo dos módulos vamos aplicar outros métodos. Por isto não necessitamos ser muito rigorosos no desenho das setas.

Calculamos o módulo usando esse modelo somente em três casos especiais:

• Para vetores de mesma direção e sentido;
• Para vetores de mesma direção e sentidos opostos;
• Para vetores com direções perpendiculares entre si.
  

Os exercícios a seguir têm como objetivo treinar o cálculo da resultante de dois ou mais vetores usando o método gráfico. Você deve resolve-los usando a animação, não fazendo os desenhos. Abra a animação e as listas de exercícios e redimensione as janelas.

Para abrir a animação clique aqui.

Para abrir a primeira lista de exercícios clique aqui.

Para abrir a segunda lista de exercícios clique aqui.

Exercício - Adição de vetores na representação gráfica. Parte 02.

Como a operação de adição possui a propriedade associativa ela pode ser extendida para mais de dois vetores. Na representação gráfica para realizar a operação deslocamos , sem mudar a inclinação, o segundo vetor até o início dele coincidir com a ponta do primeiro vetor. A seguir, deslocamos o terceiro até seu início coincidir com a ponta do segundo e assim sucessivamente até o último vetor. A resultante será representada pela seta que liga o início do primeiro à ponta do último vetor. Como a adição vetorial possui também a propriedade comutativa isso pode ser feito em qualquer ordem.

Na Física existem muitas grandezas vetoriais. No entanto, na animação a seguir usaremos as forças como exemplo de grandeza vetorial. Na adição vetorial chamamos o vetor soma de vetor resultante.

Na animação, utilize a caixa de opções e selecione, sucessivamente, dois, três, quatro e cinco vetores. Clique na ponta da seta e arraste. Em seguida, vá dispondo cada um deles da maneira que achar conveniente e observe, de cada vez, a adição sendo realizada. O vetor resultante tem a cor vermelha.

Aproveite e faça o seguinte exercício: Selecione dois vetores. Modifique cada um deles de tal maneira que a resultante se torne nula.

Repita o processo para três e quatro vetores.

Por favor, siga o link.

Aula - Subtração de vetores na representação gráfica.

Vamos definir a operação de subtração vetorial como a adição de um vetor com o seu oposto.

Observe que a maneira que a matemática encontrou de nos comunicar que duas grandezas vetoriais têm o mesmo módulo, a mesma direção mas têm sentidos opostos é através do sinal negativo. Assim o vetor -A tem o mesmo módulo, a mesma direção que o vetor A mas seu sentido é oposto. Graficamente isto corresponde a dar um giro de 180° na seta que representa o vetor A. Ao vetor -A chamamos vetor oposto do vetor A.

Vamos usar o que foi exposto acima para definir a operação de subtração de dois vetores como a adição de um vetor com o oposto do outro. Assim o vetor C, resultado da subtração dos vetores "A e B" ( A - B ) é definido com o soma do vetor A com vetor "-B". Isto é: ( A + ( - B ) ).

Para obter uma visão gráfica do processo assista a animação a seguir mas antes observe que:

A ) A operação de subtração não é comutativa;

B ) No último quadro da animação é mostrada a " prova real " da operação. Somamos o vetor C ao vetor B e obtemos de volta o vetor A.

Por favor, siga o link.

Aula - Adição vetorial na representação gráfica.

Antes de começarmos, um lembrete: Estamos acostumados a somar grandezas escalares e para isto usamos a aritmética do ensino fundamental que você aprendeu e domina. No entanto, para operar com os vetores será necessário aprender uma nova maneira de somar. Se você pensar bem verá que não poderia ser diferente uma vez que as grandezas vetoriais são completamente diversas das grandezas escalares.

Abra a animação. Na representação gráfica a adição vetorial é realizada do seguinte modo:

Para somar o vetor B ao vetor A deslocamos a seta que representa o vetor B de tal maneira que o inicio dela fique posicionado sobre a ponta da seta que representa o vetor A. O vetor soma, aqui chamado vetor C, será representado pela seta que liga o inicio da seta que representa o vetor A à ponta da seta que representa o vetor B.

Observe que:

A ) Se, ao deslocarmos as setas, por um descuido, mudarmos a sua inclinação ou o seu tamanho, não temos mais a representação do vetor original;

B ) A operação de adição vetorial possui a propriedade comutativa, ou seja, dá no mesmo somar o vetor A ao vetor B ou somar o vetor B ao vetor A.

C ) A operação de adição vetorial possui a propriedade associatica:

(vetor A + vetor B) + vetor C = vetor A + (vetor B + vetor C)

Para ter uma idéia de como o processo funciona abra a animação. Ela ilustra graficamente o que acabamos de analisar.