Exemplo - A trajetória e a velocidade mudam com o referencial.

Teacher's Domain, um dos site da Rede de Televisão Pública Americana, PBS, filmou a experiência de pensamento imaginada por Galileu para responder  a  uma questão embaraçosa apresentada por seus oponentes.

A questão é: Se o planeta Terra realmente se move, por que não percebemos esse movimento? Veja a experiência aqui.

Neste post iremos aproveitar o mesmo vídeo para estudar como a trajetória descrita por um objeto e a sua velocidade variam de acordo com a mudança do referencial a partir do qual são observadas.

No vídeo mencionado, nos interessa o segmento que começa em 0:50 e vai até 0:44. Nele é mostrada a cavalgada de um cavaleiro. Ele deixa cair uma esfera de sua mão.

O primeiro referencial é o próprio cavalo. Você deve imaginar-se na posição do cavaleiro. Observe a seta vermelha nas fotos abaixo. Ela mostra o movimento da esfera.  

Abra o vídeo aqui. Repare que para os olhos do cavaleiro, a esfera acompanha o cavalo e descreve, enquanto cai, uma trajetória retilínea, na vertical. Medida deste referencial, no cavalo, a velocidade tem direção vertical e é proporcionada pela ação da gravitação.

Você deve agora imaginar-se olhando a cena pela câmara que registrou o evento. Repare nas fotos abaixo. A seta amarela indica a posição da esfera e a curva vermelha a sua trajetória.

Repare que, no novo referencial, a trajetória da esfera é curva. Neste referencial a velocidade tem a direção tangente a curva pois é a soma da velocidade horizontal, proporcionada pelo cavalo com a velocidade vertical, sempre crescente, proporcionada pela gravitação.

Abra o vídeo aqui. Bom estudo!

Produção: Nova - Science now  é o site educacional da Public Broadcasting Service PBS, a Rede de Televisão Pública Americana.

Imagem do topo da página: "Galileu Galilei". Imagem de Galileo's Battle for Heavens,  documentário de PBS.

Exemplo - O experimento de galileu sobre o movimento da Terra.

A Terra percorre sua órbita em torno do Sol a uma velocidade bastante alta. Isto todos sabemos. Mas não é o que você sente ao se levantar da cama todas as manhãs.

A Terra é sólida e imóvel para os nossos sentidos. Para os seus olhos é o Sol que nasce e se põe todo dia.

Galileu defendia a teoria heliocêntrica de Copérnico. Logo, tinha que responder a essa questão dos seus oponentes: Afinal, se a Terra se move por que não sentimos o movimento?

Para explicar esse fenômeno ele criou a seguinte experiência de pensamento. Imagine um cavaleiro sobre sua montaria. Ambos estão imóveis. Se o cavaleiro deixa cair uma esfera ela descreve uma trajetória retilínea até o chão. O que aconteceria se o cavaleiro deixasse cair a esfera com o cavalo se movimentando?

A trajetória da esfera é reta. Tome com referência as costas do cavaleiro.

O cavalo representa a Terra em movimento. Ora, Galileu afirma, o cavaleiro tem o mesmo movimento horizontal do cavalo e sua mão transmite para a esfera esse mesmo movimento enquanto a segura.

Veja a figura acima. Quando a esfera está no ar ela conserva esse movimento horizontal transmitido pelo cavaleiro. Para ver melhor nós podemos aproveitar o trabalho do pessoal do site Teacher's Domain. Eles realizaram a experiência que Galileu apenas imaginou. Clique aqui para ver o vídeo.

Para o cavaleiro a esfera cai com a mesma trajetória retilínea com ela caiu quando ele e o cavalo estavam parados. Apenas observando o movimento da esfera o cavaleiro não pode distinguir as duas situações, isto é, ele não pode perceber se o cavalo está parado ou em movimento.

Assim como o cavaleiro sobre o cavalo em movimento, Galileu explica, todos os objetos sobre a superfície terrestre compartilham o movimento da Terra, inclusive você. Portanto, eles e você não podem perceber o movimento da Terra.

Clique aqui e abra o vídeo. Estude com cuidado e se convença das afirmações de Galileu.

Produção: Nova - Science now  é o site educacional da Public Broadcasting Service PBS, a Rede de Televisão Pública Americana.

Imagem do topo da página; Extrato do quadro "Galileu perante a Inquisição"de J. Robert-Fleury.

Exercício - Referencial Inercial.

O movimento de um objeto é sempre relativo a um outro objeto material. Esse outro objeto, a partir do qual fazemos as observações, é chamado de referencial do movimento.

Assim, imagine-se sentado num banco de um ônibus em movimento. O motorista do ônibus, sentado em frente ao volante, não está em movimento se observado por você. Por outro lado, para alguém na calçada que olhe para o ônibus, o motorista certamente estará em movimento.

Você e a pessoa na calçada são dois referenciais distintos. Observam o movimento do mesmo objeto. Fazem duas afirmações diferentes sobre ele. Ambas verdadeiras. Para mais informações clique aqui.

Se você observou a animação do link acima deve ter reparado que a forma do movimento, isto é, a sua trajetória também depende do referencial. 

O exercício que faremos a seguir trata dessas mudanças da trajetória quando se muda o referencial. A animação é uma produção do Seminar on Science, uma divisão do American Museum of Natural History.

Abra a animação. O objetivo do exercício é mostrar como os diferentes referenciais mudam a sua percepção do movimento. Clique em "Play introduction". Você verá um jogador de basquete brincando com uma bola luminosa.

Vista de cima.

Clique em "continue". Será apresentada a trajetória da bola (em amarelo) tal como vista por você (o referencial) quando está parado e, em seguida, quando está em movimento com velocidade constante.

Clique em "trials" para fazer o exercício. A nossa bola de basquete tem luz própria. Você agora está numa sala escura e pode perceber somente a trajetória da bola (em amarelo). Observando a trajetória da bola deduza qual o seu movimento, isto é, o movimento do referencial e depois deduza o movimento do jogador.

Temos três opções: Parado (standing sitll), Movimentando-se para a esquerda (walking west) e movimentando-se para a direita (walking est). Entre as três opções superiores marque uma delas para o movimento do jogador e depois, entre as inferiores, marque mais uma para o movimento do referencial.

Para confirmar sua resposta acenda a luz clicando sobre o interruptor. Se errar aparecerá uma mensagem em laranja. Tente de novo. Clique em "next trial" para o próximo exercício.

Abra a animação. Existem nove combinações possíveis. Ao final do exercício clique em "review" para conferir o seu desempenho.

Produção: American Museum of Natural History.

Aula - Velocidada instantânea, uma interpretação geométrica.

Nesta aula vamos construir uma interpretação geométrica para a velocidade. Para isto, considere o gráfico Posição X tempo de um objeto em movimento e nele considere os pontos A, B e C.

Os conceitos de velocidade média e de velocidade instantânea você poderá recordar aqui. Em termos geométricos, a velocidade média do objeto entre os pontos A e B é dada pela inclinação da reta secante à curva que passa por estes dois pontos. Veja na figura a seguir.

Lembre-se que a inclinação da reta é calculada pela divisão de "delta S", segmento amarelo medido na figura acima, por "delta t", segmento rosa medido na mesma figura.

Em seguida vamos usar o gráfico para caldular a velocidade instantânea do objeto no ponto C da curva. Este ponto tem abscissa t = 4,0 s. Para isto vamos usar a animação do professor Surendranath, do site General Physics Java applets.

Abra a animação. Em seguida, na parte inferior da página, mova o cursor da caixa "Velocity at =" até t = 4,0 s. Será apresentado um gráfico Posição X tempo e uma reta secante a curva. Note que a animação calcula o intervalo de tempo, "delta t", e a distância, "delta x" entre os pontos A e B.

Estes pontos são aqueles em que a reta secante corta a curva. Ela calcula também a velocidade média (average speed) do objeto. Repare que o ponto C está entre os pontos A e B.

Para encontrar a velocidade instantânea no ponto C devemos calcular, sucessivamente, a velocidade média em intervalos de tempo cada vez menores. Geometricamente isto significa ir aproximando os pontos A e B de tal modo que o ponto C fique sempre entre eles. 

Para isto, mova o cursor da caixa "Time interval" para a esquerda. O valor do intervalo de tempo irá diminuindo e a distância correspondente também.. Repare que o valor da velocidade média calculado pela animação vai se aproximando de 15,0 m/s à medida que o intervalo de tempo se aproxima de zero.

No intervalo de tempo menor possível, isto é, quando os pontos A e B coincidem com o ponto C, a velocidade média é chamada velocidade instantânea. Neste caso, a reta deixa de ser secante a curva para se tornar tangente a curva.

Abra a animação. Repita a operação. Bom estudo!

Applet criado por: B.Surendranath Reddy em General Physics Java Applets.

Aula - Velocidade instantânea 1.

Para medir a rapidez com que um objeto muda a sua posição escolhemos uma grandeza física vetorial chamada velocidade média.

Velocidade média é definida como a razão entre o deslocamento do objeto entre dois pontos da trajetória e o intervalo de tempo gasto para realiza-lo.  Reveja aqui a definição do vetor deslocamento e aqui a do vetor velocidade média.

Imagine-se dirigindo um carro. Quando olha para o velocímetro você obtém o módulo da velocidade. Olhe novamente. Você certamente obtém um valor diferente do anterior. O ponteiro do velocímetro está indicando um valor diferente a cada instante. Isto não é parecido com a velocidade média.

A velocidade medida pelo velocímetro do carro é chamada velocidade instantânea. Este conceito parece misterioso. Afinal, como medir a rapidez do deslocamento de um objeto num instante do tempo?

Isto não é o que parece. A velocidade instantânea nada mais é que uma velocidade média metida a besta. É somente uma velocidade média medida num intervalo de tempo bem pequeno. Faz pose de misteriosa, mas, é só pose. Reveja a definição de velocidade instantânea  aqui.

Vamos analisar este conceito de perto. Abra a animação. Clique no botão "increase". Você terá a tela abaixo. Nela um objeto move-se numa trajetória circular, no sentido anti-horário, da posição marcada pela bola vermelha à posição marcada com a bola azul.

Um objeto numa trajetória circular.

Continue clicando. A cada clique o intervalo de tempo cresce de um décimo. Chegue até um intervalo de tempo de 6 unidades. Neste caso, observe a imagem acima, a seta vermelha representa o vetor deslocamento e a seta azul o vetor velocidade média.

Na parte inferior será calculado o intervalo de tempo ( delta t ), o módulo do deslocamento ( delta r ) e, por último, o módulo da velocidade média.

Vá clicando no botão "decrease". O intervalo de tempo vai diminuindo e, proporcionalmente, o módulo do deslocamento também. Observe os valores do módulo da velocidade média. Lembre-se ele é o resultado da divisão do deslocamento pelo intervalo de tempo.

Embora os valores de "delta r" e de "delta t" sejam cada vez menores, se aproximando de zero, o valor da velocidade média se aproxima de um valor limite diferente de zero.

Quando os valores de "delta t"  for suficientemente pequeno passamos a chamar esse valor limite de velocidade instantânea do objeto naquele ponto da trajetória.

Abra a animação. Note que a seta que representa o vetor velocidade instantânea tem a direção da reta tangente à trajetória no ponto e o mesmo sentido do vetor deslocamento..

Universidade de Mount Allison.
Departamento de Física.
Applet criado por: B.Surendranath Reddy.
Em General Physics Java Applets.


Imagem: Poema visual: Velocidade.
Via: meuspoemasnossosproblemas.blogspot.com

Exemplo - Trajetórias.

No estudo do movimento dos objetos no espaço usamos alguns conceitos básicos. Entre eles está o de trajetória.

A trajetória do movimento de um objeto é o caminho percorrido por ele, isto é, o conjunto de pontos no espaço ocupados sucessivamente pelo objeto ao se movimentar de um ponto a outro do espaço. A forma desse caminho depende do observador.

Repare nas fotos a seguir. Elas fazem parte o álbum  AIRPORT   postado no flickr. Nessa série de fotos o fotógrafo americano Terence Chang usou a técnica de longa exposição para registrar as luzes de navegação e sinalização dos aviões em processo de decolagem ou aterrisagem.

O registro foi feito no aeroporto internacional de São Francisco, na California, durante o mês de julho de 2009. A longa exposição permite a materialização na foto da trajetória seguida pelos aviões através das suas luzes de navegação. Note que, ao contrário do que seria de se esperar, quando os aviões estão decolando ou aterrisando, as trajetórias seguidas por eles não são tão suaves. Existem mudanças bruscas de direção devidas aos ajustes realizados pelos pilotos.

Para ver a série completa acesse o álbum AIRPORT no flickr

Para conhecer o trabalho do Sr Terence Chang acesse a galeria exxonvaldez.

Informação via: Flowdata.com.

Exercício - Composição de velocidades com direções perpendiculares.

Sabemos que a velocidade de um objeto é sempre relativa a um referencial. Portanto, a medida da velocidade de um objeto varia de acordo com o observador. Em certas situações a velocidade que ele mede é a composição de duas ou mais velocidades.

Imagine um barco navegando num rio. Ele faz a travessia do rio numa direção perpendicular à correnteza. A velocidade do barco que o piloto mede olhando o velocímetro é a mesma quando medida por um observador na margem do rio?

Para responder essa questão vamos utilizar o conceito matemático de adição de dois vetores com direções perpendiculares entre si que você pode recordar como se faz consultando este link.

Abra a animação. Clique em "click to begim..".  Aberta a animação você verá  um barco num rio. Na parte inferior temos três controles. Do lado esquerdo temos o cursor de "River velocity" para controlar a velocidade da correnteza, medida em relação à margem ( seta vermelha). No centro temos o cursor "Boat velocity" que controla a velocidade do barco, medida em relação à agua (seta azul). 

Do lado direito temos o cursor "Theta" que controla o ângulo de inclinação do barco. Note as setas no meio do rio. Elas representam a soma vetorial, ou a composição das velocidades. A seta preta representa a velocidade do barco medida por um observador  na margem que estamos procurando. Clique em "start" para acionar a animação.

Coloque "Theta" em 90 deg ( 90° ).  Ajuste a velocidade da correnteza para zero e a do barco para 8,0 m/s. Ao acionar a animação o barco atravessa o rio na perpendicular. As medidas da velocidade do barco feitas pelo piloto e por um observador na margem são as mesmas.

Abra a animação Coloque "Theta" em 90 deg ( 90° ). Ajuste a velocidade do barco em 8 m/s e a da correnteza em 6 m/s. A velocidade do barco em relação à margem, a seta preta, será a soma vetorial dos dois vetores com direções perpendiculares. O barco atravessa  o rio na diagonal.

Note que, embora o piloto ajuste o leme para uma direção perpendicular à correnteza, vista da margem, a trajetória seguida pelo barco é uma diagonal. Isto o faz atingir a outra margem num ponto abaixo do local imaginado pelo piloto. Observe o desenho das setas sendo somadas.

Com isto podemos responder  à pergunta feita no início do texto: Não, as medidas da velocidades não são as mesmas. O que o observador na margem do rio mede é a composição de duas velocidades, isto é, a velocidade do barco medida em relação à agua somada  à velocidade da correnteza medida em relação à margem do rio.

Animação produzida por: B. Surendranath Reddy em General Physics Applets.

Imagem: Barco polícia portuária, Porth Health, Londres. 1872. Via: www.heritage-explorer.co.uk

Exercício - Composição de velocidades de mesma direção.

Sabemos que a velocidade de um objeto é sempre relativa a um referencial. Portanto, a medida da velocidade de um objeto varia de acordo com o observador. Em certas situações a velocidade que ele mede é a composição de duas ou mais velocidades. 

Imagine um barco navegando num rio. A velocidade do barco que o piloto mede olhando o velocímetro é a mesma quando medida por um observador na margem do rio?

Para responder essa questão vamos utilizar o conceito matemático de adição de dois vetores que você pode recordar como se faz consultando este link , para a adição de dois vetores de mesma direção e sentido; e este outro link, para a adição de dois vetores de mesma direção e sentidos opostos.

Abra a animação. Clique em "click to begim..".  Aberta a animação você verá  um barco num rio. Na parte inferior temos três controles. Do lado esquerdo temos o cursor de "River velocity" para controlar a velocidade da correnteza, medida em relação à margem ( seta vermelha). No centro temos o cursor "Boat velocity" que controla a velocidade do barco, medida em relação à agua (seta azul). 

Do lado direito temos o cursor "Theta" que controla o ângulo de inclinação do barco. Note as setas. Elas representam a soma vetorial, ou a composição das velocidades. A seta preta representa a velocidade do barco medida da margem que estamos procurando. Clique em "start" para acionar a animação.

Coloque "Theta" em 0 deg. Ajuste a velocidade do barco em 10 m/s e a da correnteza em 5 m/s. A velocidade do barco em relação à margem, a seta preta, será a soma vetorial dos dois vetores de mesma direção e sentido: 15 m/s. O barco desce o rio.

Abra a animação.  Coloque "Theta" em 180 deg. Agora você tem dois vetores de igual direção e sentidos opostos. A soma vetorial das velocidades dá 5 m/s. O barco sobe o rio.

Vamos repetir o processo. Desta vez inverta a situação, isto é, faça a velocidade do barco de 5 m/s e a da correnteza a 10 m/s. A soma vetorial dá -5 m/s, isto é, o barco desce o rio de ré.

Com isto podemos responder  à pergunta feita no início do texto: Não, as medidas da velocidades não são as mesmas. O que o observador na margem do rio mede é a composição de duas velocidades, isto é, a velocidade do barco medida em relação à agua somada  a velocidade da correnteza.

Animação produzida por: B. Surendranath Reddy em General Physics Applets.

Exemplo - A direção do vetor aceleração centrípeta.

No ensino médio, começamos o estudo da cinemática pelo movimento retilíneo. Neste caso, todos os vetores envolvidos, isto é, o deslocamento, a velocidade e a aceleração, têm a direção da reta sobre a qual o corpo se desloca. O mesmo não acontece quando a tajetória do movimento é curvilínea.

Na cinemática, o movimento "natural", isto é, o movimento que se mantém sem a necessidade da aplicação de uma força, é o movimento retilíneo uniforme.

Por outro lado, as leis de Newton afirmam que o efeito da ação de uma força sobre um objeto é a variação da velocidade com que ele se move e que a aceleração é dada pela força dividida pela massa do objeto. Ora, a variação de um vetor pode se dar pela variação do seu módulo, da sua direção ou dos dois ao mesmo tempo.

Logo, se a direção ou o módulo ( ou ambos ) da velocidade de um objeto varia, podemos ter certeza, isto se dá como resultado da ação de uma força. Em outros termos: Existe uma aceleração agindo.

Num movimento de trajetória curvilínea a direção da velocidade está sempre mudando. Logo, existe uma aceleração.

Veja a animação abaixo. Temos uma carro (quadrado azul) em movimento sobre uma estrada curvilínea ( linha verde). O seu velocímetro marca sempre 80 km/h, isto é, o módulo da sua velocidade linear não varia.

Clique no botão ">" , na parte inferior à esquerda, para iniciar a animação e  em "]]" , na mesma posição, para pausar o movimento.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

A trajetória do movimento é curvilínea. Logo, a direção da velocidade muda a cada ponto. Como foi visto acima deve existir então um vetor aceleração responsável pela mudança da direção. Este vetor se chama aceleração centrípeta.

Observe que o vetor aceleração (seta vermelha), aponta sempre para o centro curva ou, se você preferir, aponta sempre para dentro da parte interna da curva.

Observe também que o tamanho da seta varia. Isto indica que o módulo da aceleração varia. Note que a seta é maior nos trechos onde a curva é mais fechada. Isto acontece porque o módulo da aceleração centrípeta é inversamente proporcional ao raio da curva. Quanto maior o raio (curva mais aberta), menor o módulo da aceleração.

Imagem: www.infoescola.com

Aula - O vetor aceleração no movimento curvilíneo uniforme.

 Num movimento só existe aceleração quando há variação do vetor velocidade. Lembre-se que estamos trabalhando com grandezas vetoriais. Logo, para verificar se existe variação temos que analisar tanto o módulo como a direção do vetor.

Imagine-se ao volante de um carro que trafega por uma estrada reta. Neste caso, a direção do vetor velocidade do carro  não muda. Assim basta olhar para o velocímetro do carro e, se verificar, por exemplo, que ele marca ao longo do tempo sempre  80 km/h, você terá certeza que a aceleração do carro é nula.

Imagine-se agora ao volante de um carro que trafega por um trecho curvo de uma estrada. Você observa o velocímetro e nota que ele está fixo na marca de 80 km/h. Então, será que agora, como no caso anterior, você pode afirmar com segurança que a aceleração é nula?

Embora o módulo do vetor velocidade não varie (a marcação do velocímetro é constante), a direção da velocidade está variando a todo instante pois a trajetória do carro é curva. Logo, existe uma aceleração e ela é a responsável pela mudança da direção do movimento.

Na animação abaixo representamos o carro (quadrado azul) numa estrada curva ( linha verde). Clique no botão ">" , na parte inferior à esquerda, para iniciar a animação e  em "]]" para pausar o movimento. Lembre-se que o velocímetro do carro sempre marca 80 km/h.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Este tipo de movimento de trajetória curvilínea onde o módulo da velocidade linear é constante é chamado de Movimento Curvilíneo Uniforme. Nele a aceleração, chamada aceleração centrípeta, reponsável pela mudança de direção, aponta sempre para o centro da curva.

Note que a seta vermelha que representa o vetor aceleração aumenta de tamanho quando o carro trafega pelas partes mais fechadas da curva. Isto mostra que o módulo da aceleração centrípeta está variando.

Observe a figura acima. Ela mostra que o módulo da aceleração centrípeta é inversamente proporcional ao raio do trecho da curva pela qual o carro passa naquele movento, isto é, quanto mais fechada a curva maior é o módulo da aceleração.

Lembre-se: Estamos trabalhando com a velocidade linear constante.

Aula - O vetor aceleração no movimento circular uniforme.

 No movimento de um objeto só existe aceleração quando há variação do vetor velocidade. Lembre-se que estamos trabalhando com grandezas vetoriais. Logo, para verificar se existe variação temos que analisar tanto o módulo como a direção do vetor.

Imagine-se ao volante de um carro que trafega por uma estrada reta. Neste caso, a direção do vetor velocidade do carro  não muda. Assim, basta olhar para o velocímetro do carro e se verificar, por exemplo, que ele marca ao longo do tempo sempre  80 km/h, você terá certeza que a aceleração do carro é nula.

Imagine-se agora ao volante de um carro que trafega por um trecho semicircular de uma estrada. Você observa o velocímetro e nota que ele está fixo na marca de 80 km/h. Então, será que agora, como no caso anterior, você pode afirmar com segurança que a aceleração é nula?

O módulo do vetor velocidade não varie uma vez que a marcação do velocímetro é constante. Isto não basta. Temos que verificar se existe variação da direção da velocidade.

A direção da velocidade está variando a todo instante pois a trajetória do carro é circular. Logo, existe uma aceleração e ela é a responsável pela mudança da direção do movimento.

Na animação abaixo representamos o carro (quadrado azul) numa estrada semicircular ( linha verde). Clique no botão ">" , na parte inferior à esquerda para iniciar a animação e  em "]]" para pausar o movimento. Lembre-se que o velocímetro do carro sempre marca 80 km/h.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

 Este tipo de movimento de trajetória circular com o módulo da velocidade linear constante é chamado de Movimento Circular Uniforme. No MCV a aceleração, chamada aceleração centrípeta, tem módulo também constante mas a sua direção varia e o seu sentido aponta sempre para o centro da circunferência (ponto B).

Aula - O vetor velocidade e a trajetória de um objeto.

Quando surge a necessidade de  descrever uma grandeza física nosso primeiro impulso é, quase sempre, usar apenas um número e uma unidade de medida. - Comprei meio quilo de café, afirmamos. Neste caso, estas informações são plenamente suficientes como resposta a uma pergunta direta.

Isto nos parece tão natural, tão simples. A natureza, no entanto, é um pouco mais complexa. Para algumas grandezas físicas é necessário fornecer  mais algumas informações se quisermos nos fazer entender.

A velocidade, por exemplo. Observe a animação abaixo. Imagine um carro (quadrado azul) trafegando por uma estrada (linha verde). Se desejo informar-me da velocidade do veículo a cada instante de tempo devo ler o velocímetro. Ali, num dado instante, leio que a velocidade é de 80 km/h, por exemplo.

Talvez isto lhe pareça suficiente. No entanto, se desejamos descrever o movimento do carro com exatidão é conveniente informar também a direção e o sentido da velocidade.

Na animação a velocidade instantânea do carro é representada por uma seta. A cada instante a velocidade têm sempre a direção tangente à trajetória naquele ponto.

Clique no botão ">" , na parte inferior à esquerda, para iniciar a animação em "]]" para pausar o movimento.

Observe que o motorista do carro diminui a velocidade nas curvas e acelera nos trechos retos da estrada. Naturalmente esta ação provoca uma variação no módulo da velocidade.  Isto nos é informado pelo tamanho da seta vermelha que representa o vetor velocidade.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Aula - Vetor velocidade angular - Direção e sentido.

O vetor velocidade linear ( a nossa velocidade comum ) tem a mesma direção do  vetor deslocamento linear. Os dois vetores têm a mesma direção. Isto pode nos levar a pensar que o vetor velocidade sempre tem a mesma direção do vetor deslocamento.

Não é verdade. Isto não acontece, por exemplo, com a velocidade angular. O vetor velocidade angular faz parte de uma classe diferente de vetor. Ele pertence a classe dos vetores  chamados "Vetores axiais".

A velocidade angular é uma grandeza física que mede a "rapidez" com que um objeto gira. Claro, se o objeto gira então ele o faz em torno de um eixo de rotação. Os vetores axiais têm a direção deste eixo de rotação. O eixo é, por definição, perpendicular ao plano de rotação do objeto.

Abra a animação. Nela temos uma roda girante e a seta que representa o vetor velocidade angular da roda. A direção da seta é, claro, ao longo do eixo de rotação. Mas e o sentido do vetor?

O sentido do vetor é uma convenção, isto é, não existe uma razão física para a sua escolha. A convenção que usamos é chamada "Regra da mão direita".

A regra se aplica da seguinte maneira: Com a mão direita aberta junte os dedos e envolva a roda. Os dedos, menos o  polegar, devem apontar no sentido em que a roda está girando. O polegar, por sua vez,  indicará o sentido do vetor velocidade angular. Se a roda inverte o sentido da sua rotação a seta apontará no sentido oposto.

Com a animação aberta treine um pouco a aplicação da regra. Ela é muito útil. Entre outras aplicações ela será usada no estudo da eletricidade e do magnetismo.

Animação produzida pelo Prof. David M. Harrison, do Departamento de Física - Universidade de Toronto.

Aula - Lançamento de projéteis - Influência da massa.

 Segundo Galileu, do ponto de vista da cinemática a massa do objeto não tem influência no seu movimento na atmosfera terrestre. Assim, uma pena de ave e um martelo, se deixados cair de uma mesma altura, atingem o solo ao mesmo tempo. Claro, não estamos levando em conta a força de resistência aplicada pelo ar.

Do mesmo modo, no lançamento de um projetil a massa não tem influência sobre o movimento. Objetos de massas diferentes uma das outras, lançados com o mesmo ângulo de inclinação, com a mesma velocidade inicial terão o mesmo alcance. Lembre-se: Não estamos considerando as forças de resistência do ar.

Abra a animação. Marque a caixa "som". Certifique-se de que as caixas  "ângulo (graus)" e "Velocidade inicial" não mudam as marcações entre os lançamentos. Para realizar os lançamentos clique em "Lançar" e para apagar as trajetórias clique em "Apagar".

Na caixa escolhar selecione "Carro" e faça o lançamento. Faça o mesmo, sucessivamente, para "piano", "Adulto humano" e "Abóbora". Observe as trajetórias: A altura máxima, o alcance são os mesmos.

Quando consideramos a força de arrasto do ar, isto é, a força de resistência que o ar oferece ao avanço do objeto através dele, a forma do objeto passa a influenciar o movimento. Algumas formas sofrem memos resistência ao avanço que outras. São mais aerodinâmicas.

Abra a animação. Marque a caixa "Resistência do ar" e repita os lançamentos. Observe as trajetórias. Qual forma é mais aerodinâmica?

A forma de um projetil de um canhão tem a forma calculada para oferecer a menor resistência possível ao ar quando em movimento. Lance uma "bala" duas vezes, uma delas com a caixa "resistência do ar" marcada. Observe as trajetórias.

Claro, como você já deve ter percebido,  lançar um carro e lançar uma bola de futebol a mesma altura  não são a mesma coisa. No entanto, lembre-se que os lançamentos são feitos com a mesma velocidade inicial. Para que isto seja possível o carro deve receber um impulso muito maior que a bola pois possui  maior massa. Para isto é necessário aplicar sobre ele uma força maior que a força aplicada sobre a bola de futebol.

Animação produzida por The PhET Interactive Simulations Project da  Universidede do Colorado, Boulder.

Aula - A trajetória parabólica do lançamento horizontal.

Um objeto, próximo à superfície terrestre, lançado com uma velocidade de direção horizontal, segue uma trajetória parabólica. Claro, estamos fazendo algumas simplificações. Estamos assumindo que a única força  agindo sobre o objeto é a força gravitacional.

Galileu percebeu que este movimento de trajetória parabólica poderia ser entendido como a soma vetorial de dois outros movimentos que ele conhecia bem: O movimento retilíneo uniforme, na horizontal, e o movimento retilíneo uniformemente acelerado, na vertical.

Abra a animação. Clique sobre a imagem para inicia-la. A bola vermelha é lançada horizontalmente a partir da plataforma no ponto "a". As retas que formam a grade do desenho são marcadas em tempos iguais. A bola vermelha segue a trajetória "ifh". Esta trajetória é parabólica.

O que Galileu propôs foi o seguinte: Imagine que a bola vermelha tenha dois fantasmas ( as bolas de cor rosa ) que seguem o seu movimento. Uma o faz pela horizontal e a outra pela direção vertical.

O fantasma da horizontal segue uma trajetória retilínea com velocidade constante. Observe que as distâncias entre as retas e, d, c e b são constantes. O movimento é então retilíneo uniforme.

Na vertical atua a força gravitacional. Isto implica que o movimento é uniformemente acelerado. Observe as distâncias entre as retas b, g, l e n, elas são progresivamente maiores.

Abra a animação. Desenhe numa folha de papel as setas do vetor velocidade na horizontal e do vetor velocidade na vertical em vários pontos ao longo da trajetória. Some as setas duas a duas. Você verificará que o vetor soma é sempre tangente à trajetória parabólica.

Lembre-se: A seta horizontal é sempre do mesmo tamanho pois o movimento é uniforme. A seta vertical, por sua vez, é progresivamente maior pois o movimento na vertical é acelerado.

Sugestão: Para desenhar as setas escolha os pontos b, i, f e h. Note que no ponto b a velocidade vertical da bola vermelha é nula pois a aceleração da gravidade ainda não teve tempo de agir.

Animação produzida por: Michael Fowler, professor do departamento de Física da Universidade da Virgínia.

Imagem: kleberandrade.wordpress.com

Aula - Gráfico posição x tempo do movimento uniformemente variado - velocidade.

Abaixo temos a função quadrática ou função do segundo grau de variável "x". Sabemos que o seu gráfico é uma parábola.

Note a semelhança entre as equações. Podemos enxergar a equação horária do movimento uniformemente acelerado ( MRUV ) como uma função do segundo grau de variável "t".

Assim, o termo independente "c" passa a ser a posição inicial; o termo "b" a velocidade inicial e "a" a metade da aceleração do objeto.

Vamos usar a animação abaixo para verificar quais informações podemos obter  do gráfico posição x tempo do MRUV no que se refere a velocidade do objeto. Como o movimento é acelerado a velocidade, claro, muda a cada instante. Vamos usar a inclinação da reta tangente para comparar as seus valores.

A reta tangente no ponto A está inclinada para a esquerda, o que informa que a velocidade é negativa naquele ponto. O objeto está se aproximando da origem. No ponto C a reta tangente está inclinada para a direita. Isto informa que a velocidade é positiva no ponto C. O objeto está se afastando da origem. Repare ainda que a reta tangente está, em relação ao eixo horizontal, mais inclinada em A que em C. Isto informa que o módulo da velocidade é maior em A.

Observe a reta tangente no ponto B. Ela é paralela ao eixo horizontal. Sua inclinação é nula. Isto nos informa que a velocidade nesse ponto é nula. No ponto B o objeto inverte o sentido do seu movimento.

Na animação abaixo, mova os controles e marque o valor negativo para "a". Reproduza a parábola numa folha de papel. Marque  retas tangentes em vários pontos e compare o valor da velocidade nesses pontos.

Animação produzida por The PhET Interactive Simulations Project da  Universidede do Colorado, Boulder.

Aula - Gráfico posição x tempo do Movimento uniformemente variado - aceleração.

Abaixo temos a função quadrática ou função do segundo grau de variável "x". Sabemos que o seu gráfico é uma parábola.

Podemos enxergar a equação horária do movimento uniformemente acelerado ( MRUV ) como uma função do segundo grau de variável "t".

Assim, o termo independente "c" passa a ser a posição inicial; o termo "b" a velocidade inicial e "a" a metade da aceleração do objeto.

Vamos usar a animação abaixo para verificar quais informações podemos obter  do gráfico posição x tempo do MRUV no que se refere a aceleração.

Clique no botão vermelho "zero" para iniciar a animação.

1. Deixe o termo "ax²" nulo, isto é, a aceleração nula. Arraste o botão referente ao termo "bx". Dê a ele valores positivos e negativos. Veja que o gráfico do movimento é uma reta, isto é, como a aceleração é nula o movimento é uniforme.
2. Clique novamente no botão "zero". Agora movimente o botão referente ao termo "ax²". Dê a ele valores positivos. Observe que a concavidade da curva é para cima e que quando maior o valor mais estreita é a parábola. Assim, quando observar o gráfico posição x tempo, se a concavidade da curva é para cima saberá que a aceleração do movimento é positiva, isto é, tem o sentido positivo do eixo. E mais: quanto mais estreita a parábola maior é o módulo da aceleração.
3. Clique novamente no botão "zero". Continue movimentando o botão referente ao termo "ax²". Agora, dê a ele valores negativos. Observe que a concavidade da curva é para baixo e que quando maior (em módulo) o valor mais estreita é a parábola. Assim, quando observar o gráfico posição x tempo, se a concavidade da curva é para baixo saberá que a aceleração do movimento é negativa, isto é, tem o sentido negativo do eixo. E mais: quanto mais estreita a parábola maior é o módulo da aceleração.
   

Animação produzida por The PhET Interactive Simulations Project da  Universidade do Colorado, Boulder.

Aula - Velocidade média no movimento uniformemente acelerado.

Para qualquer tipo de movimento a velocidade média é definida como a razão entre a variação da posição e o intervalo de tempo correspondente, isto é, o intervalo de tempo em que a variação  da posição ocorre.

Para o movimento com aceleração constante temos uma segunda opção para o cálculo da velocidade média. Este movimento é retilíneo e sua velocidade varia uniformemente com o tempo. Neste caso, e somente neste caso, a velocidade média é a média das velocidades do início e do final do intervalo de tempo.

Em termos matemáticos:

Onde V1 é a medida da velocidade instantânea no início do intervalo de tempo comsiderado e V2 a medida dela no final do intervalo de tempo.

Use as equações abaixo e calcule a velocidade média desse movimento entre os instantes t1 = 2,0 s e t2 = 4,0 s. As unidades das grandezas são as do SI.

Resposta: 34 m/s.

Aula - Equação horária do Movimento retilíneo uniforme.

Ao estudarmos uma equação física é importante ter sempre em mente que todas elas têm o seu campo de aplicação. Uma equação física não vale em todas as situações. Isto implica que elas somente fornecem resultados válidos dentro desses limites.

Portanto, ao aplica-las na resolução dos exercícios procure antes ter certeza de que esses limites não foram ultrapassados.

Aula - Velocidade escalar média.

Imagine um objeto se movimentando ao longo de uma linha. Por exemplo, imagine você observando o movimento de um carro, por uma estrada, sentado no alto de uma montanha.

Para medir a "rapidez" com que este movimento é realizado criamos a grandeza física chamada velocidade escalar média.

A velocidade escalar média é assim entendida: