Aula - Gráfico posição x tempo do movimento uniformemente variado - velocidade.

Abaixo temos a função quadrática ou função do segundo grau de variável "x". Sabemos que o seu gráfico é uma parábola.

Note a semelhança entre as equações. Podemos enxergar a equação horária do movimento uniformemente acelerado ( MRUV ) como uma função do segundo grau de variável "t".

Assim, o termo independente "c" passa a ser a posição inicial; o termo "b" a velocidade inicial e "a" a metade da aceleração do objeto.

Vamos usar a animação abaixo para verificar quais informações podemos obter  do gráfico posição x tempo do MRUV no que se refere a velocidade do objeto. Como o movimento é acelerado a velocidade, claro, muda a cada instante. Vamos usar a inclinação da reta tangente para comparar as seus valores.

A reta tangente no ponto A está inclinada para a esquerda, o que informa que a velocidade é negativa naquele ponto. O objeto está se aproximando da origem. No ponto C a reta tangente está inclinada para a direita. Isto informa que a velocidade é positiva no ponto C. O objeto está se afastando da origem. Repare ainda que a reta tangente está, em relação ao eixo horizontal, mais inclinada em A que em C. Isto informa que o módulo da velocidade é maior em A.

Observe a reta tangente no ponto B. Ela é paralela ao eixo horizontal. Sua inclinação é nula. Isto nos informa que a velocidade nesse ponto é nula. No ponto B o objeto inverte o sentido do seu movimento.

Na animação abaixo, mova os controles e marque o valor negativo para "a". Reproduza a parábola numa folha de papel. Marque  retas tangentes em vários pontos e compare o valor da velocidade nesses pontos.

Animação produzida por The PhET Interactive Simulations Project da  Universidede do Colorado, Boulder.

Aula - Gráfico posição x tempo do Movimento uniformemente variado - aceleração.

Abaixo temos a função quadrática ou função do segundo grau de variável "x". Sabemos que o seu gráfico é uma parábola.

Podemos enxergar a equação horária do movimento uniformemente acelerado ( MRUV ) como uma função do segundo grau de variável "t".

Assim, o termo independente "c" passa a ser a posição inicial; o termo "b" a velocidade inicial e "a" a metade da aceleração do objeto.

Vamos usar a animação abaixo para verificar quais informações podemos obter  do gráfico posição x tempo do MRUV no que se refere a aceleração.

Clique no botão vermelho "zero" para iniciar a animação.

1. Deixe o termo "ax²" nulo, isto é, a aceleração nula. Arraste o botão referente ao termo "bx". Dê a ele valores positivos e negativos. Veja que o gráfico do movimento é uma reta, isto é, como a aceleração é nula o movimento é uniforme.
2. Clique novamente no botão "zero". Agora movimente o botão referente ao termo "ax²". Dê a ele valores positivos. Observe que a concavidade da curva é para cima e que quando maior o valor mais estreita é a parábola. Assim, quando observar o gráfico posição x tempo, se a concavidade da curva é para cima saberá que a aceleração do movimento é positiva, isto é, tem o sentido positivo do eixo. E mais: quanto mais estreita a parábola maior é o módulo da aceleração.
3. Clique novamente no botão "zero". Continue movimentando o botão referente ao termo "ax²". Agora, dê a ele valores negativos. Observe que a concavidade da curva é para baixo e que quando maior (em módulo) o valor mais estreita é a parábola. Assim, quando observar o gráfico posição x tempo, se a concavidade da curva é para baixo saberá que a aceleração do movimento é negativa, isto é, tem o sentido negativo do eixo. E mais: quanto mais estreita a parábola maior é o módulo da aceleração.
   

Animação produzida por The PhET Interactive Simulations Project da  Universidade do Colorado, Boulder.

Aula - A inclinação da reta e a taxa de variação entre duas grandezas.

Na equação da reta abaixo o número "m" é chamado coeficiente angular. Ele nos fornece uma medida da inclinação da reta em relação ao eixo horizontal do gráfico. O número "b", por sua vez, é chamado coeficiente linear e fornece o ponto onde a curva cruza o eixo vertical.

Isto para a matemática. Na Física, no entanto, o gráfico cartesiano é uma fotografia do relacionamento entre duas grandezas cujas medidas estão marcadas nos eixos.

Neste caso,  o coeficiente angular nos dá a medida da taxa de variação da grandeza representada no eixo vertical em relação à grandeza representada no eixo horizontal.

Assim, se no eixo vertical temos representada a posição e no eixo horizontal o tempo e o gráfico cartesiano é uma reta então temos o movimento uniforme:

Neste caso, o coeficiente angular nos dá a medida de quanto a posição ( S ) varia por cada unidade de tempo, isto é, a velocidade ( V ). O coeficiente linear dá a posição inicial do objeto.

Do mesmo modo, se no eixo vertical temos representada a velocidade de um objeto ( V ) e no eixo horizontal o tempo ( t ) e o gráfico cartesiano é uma reta então temos o movimento uniformemente variado:

Neste caso, o coeficiente angular nos dá a medida de quanto a velocidade do objeto varia por cada unidade de tempo, isto é, a aceleração ( a ). O coeficiente linear nos dá a velocidade inicial do objeto.

Em todos esses casos temos uma grandeza que varia proporcionalmente  a outra grandeza. Essa situação é bastante comum na natureza. Somente para dar mais um exemplo citamos a quantidade de calor ( Q ) transferida entre dois sistema:

Aqui, no eixo vertical temos a quantidade de calor transferida e no eixo horizontal a temperatura .Nesse caso, o coeficiente angular nos dá a medida  a quantidade de calor transferida por cada unidade de variação da temperatura ( delta T ), isto é, a capacidade térmica do sistema ( C ).

Use a animação abaixo e faça os exercícios. Marque as coordenadas dos pontos nas caixas Point1 e Point2, clique no botão "Solve" e leia "m" e "b".

1. Calcule a capacidade térmica de um sistema cujo gráfico QxT passa pelos pontos (0,0) e (4,7)
2. Calcule a posição inicial e a velocidade de um objeto cujo gráfico Sxt passa pelos pontos ( 3,3) e (5,5).
3. Calcule a aceleração e a velocidade incial de um objeto cujo gráfico Vxt passa pelos pontos (4,5) e (8,7).

Poodwaddle.com

Exercício - Inclinação positiva e negativa de uma reta.

Na equação da reta abaixo o número "m" é chamado coeficiente angular. Ele nos fornece uma medida da inclinação da reta em relação ao eixo horizontal do gráfico.

Vamos usar a animação a seguir para fazer alguns exercícios para que você adquira uma visão clara de como se comporta a reta em função do valor de "m".

Na caixa "b" digite zero. Na caixa "m" digite sucessivamente 0.1; 0.5; 0.8; 1; 5; 10 e 20. Clique no botão "Solve", após digitar cada número, para desenhar a reta.

Atenção:  A animação usa a notação inglesa. Portanto escrevemos 0.5 ( zero ponto cinco ) em vez de 0,5 ( zero vírgula cinco )

Note: Se "m" é positivo a inclinação é para a direita.  À medida que o valor de "m" cresce positivamente a reta aumenta a sua inclinação em relação à horizontal e se aproxima do eixo vertical.

Na caixa "b" digite zero. Na caixa "m" digite sucessivamente -0.1; -0.5; -0.8; -1; -5; -10 e -20. Clique no botão "Solve", após digitar cada número, para desenhar a reta.

Note:  Se "m" é negativo a inclinação da reta é para a esquerda. À medida que o valor de "m" cresce em módulo a reta aumenta a sua inclinação e se aproxima do eixo vertical.

Animação produzida por: Poodwaddle.com

Exercício - Método da área sob a curva, velocidade variável.

Para um gráfico cartesiano do tipo Velocidade X tempo a área sob a curva do gráfico, isto é, a área entre a curva e o eixo horizontal,  mede a distância percorrida pelo objeto cujo movimento o gráfico descreve.

Na animação abaixo temos o gráfico velocidade X tempo de um objeto em movimento. Desta vez, porém, o movimento é acelerado. Neste caso a aceleração é constante e, portanto, a velocidade cresce linearmente com o tempo. O gráfico da velocidade é uma reta.

Clique no ponto azul e arraste. Você marcará o instante de tempo inicial desejado. Faça o mesmo para o botão vermelho e marcará o instante de tempo final. A área sob a curva é marcada em rosa e a sua medida, que fisicamente significa a distância percorrida no intervalo de tempo que você escolheu, será dada em " e = ..."

Note que  a velocidade é positiva do início do movimento até o relógio marcar 5,0 segundos. Neste intervalo de tempo a velocidade vai diminuindo de valor. O objeto está se movimentando no sentido positivo da sua trajetória. Quando o relógio marca 5,0 segundos a velocidade se anula e o sentido do movimento se inverte. Daí para frente a velocidade é negativa e cresce em módulo. O objeto está agora se movimentando no sentido negativo da sua trajetória.

Quando calculamos a área sob a curva teremos uma área positiva até 5,0 s e negativa a partir daí. A área total, isto é, a distância percorrida pelo objeto, é dada pela soma algébrica ( levando em conta o sinal ) das duas áreas parciais.
  

Vamos fazer alguns exercícios. A resposta será dada em e = ...

• Marque o instante inicial do movimento em 3,0s e o final em 5,0 s
• Marque o instante inicial do movimento em 5,0 s e o instante final em 7,0 s.
  
• Marque o instante inicial do movimento em 3,0 s e o instante final em 7,0 s. Note que ás áreas marcadas encima e embaixo da curva são iguais. A área é positiva entre 3,0 e 5,0 s e negativa entre 5,0 e 7,0 s. Isto significa que o objeto se movimentou no sentido positivo da trajetória até  o relógio marcar 5,0s, deu meia volta e retornou ao ponto de partida. No final das contas ele não saiu do lugar. A distância. claro, é nula.
• Calcule a distância percorrida entre o inicio do movimento (t=0)e t= 9,0s.

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Exercício - Método da área sob a curva, área negativa.

Para um gráfico cartesiano do tipo Velocidade X tempo a área sob a curva do gráfico, isto é, a área entre a curva e o eixo horizontal,  mede a distância percorrida pelo objeto cujo movimento o gráfico descreve.

Na animação abaixo temos o gráfico velocidade X tempo de um objeto com velocidade constante. Clique no ponto azul e arraste. Você marcará o instante de tempo inicial desejado. Faça o mesmo para o botão vermelho e marcará o instante de tempo final. A área sob a curva é marcada em rosa e a sua medida, que fisicamente significa a distância percorrida no intervalo de tempo que você escolheu, será dada em " d = ..."

Note que neste caso a velocidade é negativa. Isto significa que o objeto está se movimentando no sentido negativo do eixo. Quando calculamos a área sob a curva teremos uma área negativa. Claro, não existe uma área negativa em termos geométricos. Lembre-se, no entanto, que estamos dando um significado físico para a área: Para nós ela significa a distância que o objeto percorreu.

 Neste caso, a área negativa  significa apenas que o objeto  percorreu esta distância no sentido negativo do eixo.
  

Vamos fazer alguns exercícios:

•  Calcule a distância percorrida entre o início do movimento e o instante 6,0 segundos.
• Calcule a distância percorrida entre os instantes 2,2 s e 10 s.
• Calcule a distância percorrida  entre os instantes 4,5 s e 7,5 s.

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Exercício - Método da área sob a curva.

Para um gráfico cartesiano do tipo Velocidade X tempo a área sob a curva do gráfico mede a distância percorrida pelo objeto cujo movimento o gráfico descreve.

Na animação abaixo temos o gráfico velocidade X tempo de um objeto com velocidade constante. Clique no ponto azul e arraste. Você marcará o instante de tempo inicial desejado. Faça o mesmo para o botão vermelho e marcará o instante de tempo final. A área sob a curva é marcada em rosa e a sua medida, que fisicamente significa a distância percorrida no intervalo de tempo que você escolheu, será dada em " d = ..."

Vamos fazer alguns exercícios:

•  Calcule a distância percorrida entre o início do movimento e o instante 4,0 segundos.
• Calcule a distância percorrida entre os instantes 2,0 s e 10 s.
• Calcule a distância percorrida  entre os instantes 5,5 s e 9,5 s.

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Aula - Os gráficos na Física. Leitura indireta 2.

A função de um gráfico é fornecer informações. Algumas são obtidas pela leitura direta nas escalas dos eixos do gráfico. Outras são obtidas de maneira indireta, isto é, são necessários alguns cálculos prévios. Um desses métodos de tirar informações dos gráficos é o Método da área sob a curva. Para o gráfico VelocidadeX tempo ele calcula a distância percorrida entre dois instantes no tempo.

Da definição de velocidade média obtemos a seguinte relação:

Este método vale para qualquer tipo de movimento. Agora, no entanto, vamos trabalhar com o movimento retilíneo uniforme. Neste caso, o gráfico da velocidade é uma reta paralela ao eixo horizontal uma vez que a velocidade é constante.

Observe o gráfico abaixo. No eixo vertical temos marcada  a velocidade, no eixo horizontal o tempo. O produto da velocidade pelo intervalo de tempo corresponde, em termos geométricos, à área do retângulo rosa. Fisicamente esta área fornece a distância percorrida pelo objeto neste intervalo de tempo.

Aula - Os gráficos na Física. Leitura indireta 1.

A função de um gráfico é fornecer informações. Algumas são obtidas pela leitura direta nas escalas dos eixos do gráfico. Outras são obtidas de maneira indireta, isto é, são necessários alguns cálculos prévios. Um desses métodos de tirar informações dos gráficos é o Método da Taxa de variação entre duas grandezas. Para o gráfico Posição X tempo ele calcula a velocidade. O método serve para qualquer tipo de movimento.

Da Geometria analítica sabemos que o gráfico de uma função linear, ou função de primeiro grau, é uma reta. Observe a função f(x) abaixo. Ela é uma função linear. O número "a" é chamado coeficiente angular da reta. Ele dá a inclinação da reta em relação ao eixo horizontal. Quanto maior for "a", mais inclinada a reta estará.

O coeficiente angular da reta é calculado por:

Se "a" for um número positivo a reta estará inclinada para a direita. Se for um número negativo a reta estará inclinada para a esquerda.

A expressão matemática para o movimento retilíneo uniforme acima  é uma função linear logo o seu gráfico é uma reta. Note que a velocidade "v" está no lugar de "a". Assim a inclinação da reta fornece a velocidade do movimento. 

Umas das características de uma reta é ter a inclinação constante. Logo, escolhendo um "delta t" qualquer e tomando o "delta S" correspondente no gráfico do movimento retilíneo uniforme podemos calcular a velocidade do movimento.

Aula - Os gráficos na Física. Leitura direta.

Os gráficos são a maneira mais eficiente que temos de exibir informações. Permitem uma análise rápida dos dados.

Portanto, gráfico não é um enfeite. Se ele aparece num determinado problema tenha certeza: Ele está ali para você retirar dele as informações necessárias para a resolução da questão.

Algumas dessas informações são obtidas por leitura direta. Para isto é necessário ler o rótulo de cada um dos eixos. Repare na grandeza exibida e na unidade. Veja o gráfico abaixo.

Se for necessário saber qual a posição do móvel quando o relógio marca 3,00 segundos levante uma paralela ao eixo vertical passando pelo ponto 3,00 do eixo horizontal até encontrar a curva ( linha azul ) e dai trace uma paralela ao eixo horizontal até encontrar o eixo vertical. Leia a informação na escala do eixo vertical: 10 m.

Se, por outro lado, for necessário saber qual a marcação do relógio quando o móvel ocupa a posição 10 metros faça o caminho inverso. Levante uma paralela ao eixo horizontal passando pelo ponto 10 m do eixo vertical até encontrar a curva ( linha azul ) e dai trace uma paralela ao eixo vertical até encontrar o eixo horizontal. Leia a informação na escala do eixo horizontal: 3,00 s.

Exemplo - Tipos de gráficos.

O trabalho de um cientista resulta quase sempre na realização de medidas que, por sua vez, são expressas em números. Milhares, milhões de dados que devem ser analisados a procura de uma informação relevante. O pesquisador está, literalmente, afogado em números.

Encontrar maneiras de facilitar o encontro da informação encoberta no emaranhado de números é certamente uma boa notícia.

Tome o Tsunami originado na costa japonesa em 2011. Prever como ela irá se propagar pelo oceano Pacífico e com que intensidade atingirá a costa americana é de vital importância.

Temos então milhares de medidas realizadas por boias no mar, outras milhares de medidas realizadas pelos satélites em órbita e outras ainda por programas de computador. Como expor tudo isto de modo que a informação se revele?

Usando um gráfico como este feito dela Administração Americana de Oceanos e Atmosfera - NOAA e mostrado no vídeo a seguir. Eis a melhor resposta.

Neste gráfico mostra-se como será a propagação do Tsunami pelo oceano Pacífico usando uma escala de cores. Do Azul ao amarelo para altura de onda de até 20 cm indo até o negro para as alturas maiores como as que ocorrem no ponto de origem da onda na costa japonesa. Repare na escala na parte inferior direita do vídeo.

Observe o vídeo e responda: O Tsunami causará danos ao atingir a costa das américas?