Exercício - Composição de velocidades com direções perpendiculares.

Sabemos que a velocidade de um objeto é sempre relativa a um referencial. Portanto, a medida da velocidade de um objeto varia de acordo com o observador. Em certas situações a velocidade que ele mede é a composição de duas ou mais velocidades.

Imagine um barco navegando num rio. Ele faz a travessia do rio numa direção perpendicular à correnteza. A velocidade do barco que o piloto mede olhando o velocímetro é a mesma quando medida por um observador na margem do rio?

Para responder essa questão vamos utilizar o conceito matemático de adição de dois vetores com direções perpendiculares entre si que você pode recordar como se faz consultando este link.

Abra a animação. Clique em "click to begim..".  Aberta a animação você verá  um barco num rio. Na parte inferior temos três controles. Do lado esquerdo temos o cursor de "River velocity" para controlar a velocidade da correnteza, medida em relação à margem ( seta vermelha). No centro temos o cursor "Boat velocity" que controla a velocidade do barco, medida em relação à agua (seta azul). 

Do lado direito temos o cursor "Theta" que controla o ângulo de inclinação do barco. Note as setas no meio do rio. Elas representam a soma vetorial, ou a composição das velocidades. A seta preta representa a velocidade do barco medida por um observador  na margem que estamos procurando. Clique em "start" para acionar a animação.

Coloque "Theta" em 90 deg ( 90° ).  Ajuste a velocidade da correnteza para zero e a do barco para 8,0 m/s. Ao acionar a animação o barco atravessa o rio na perpendicular. As medidas da velocidade do barco feitas pelo piloto e por um observador na margem são as mesmas.

Abra a animação Coloque "Theta" em 90 deg ( 90° ). Ajuste a velocidade do barco em 8 m/s e a da correnteza em 6 m/s. A velocidade do barco em relação à margem, a seta preta, será a soma vetorial dos dois vetores com direções perpendiculares. O barco atravessa  o rio na diagonal.

Note que, embora o piloto ajuste o leme para uma direção perpendicular à correnteza, vista da margem, a trajetória seguida pelo barco é uma diagonal. Isto o faz atingir a outra margem num ponto abaixo do local imaginado pelo piloto. Observe o desenho das setas sendo somadas.

Com isto podemos responder  à pergunta feita no início do texto: Não, as medidas da velocidades não são as mesmas. O que o observador na margem do rio mede é a composição de duas velocidades, isto é, a velocidade do barco medida em relação à agua somada  à velocidade da correnteza medida em relação à margem do rio.

Animação produzida por: B. Surendranath Reddy em General Physics Applets.

Imagem: Barco polícia portuária, Porth Health, Londres. 1872. Via: www.heritage-explorer.co.uk

Exercício - Composição de velocidades de mesma direção.

Sabemos que a velocidade de um objeto é sempre relativa a um referencial. Portanto, a medida da velocidade de um objeto varia de acordo com o observador. Em certas situações a velocidade que ele mede é a composição de duas ou mais velocidades. 

Imagine um barco navegando num rio. A velocidade do barco que o piloto mede olhando o velocímetro é a mesma quando medida por um observador na margem do rio?

Para responder essa questão vamos utilizar o conceito matemático de adição de dois vetores que você pode recordar como se faz consultando este link , para a adição de dois vetores de mesma direção e sentido; e este outro link, para a adição de dois vetores de mesma direção e sentidos opostos.

Abra a animação. Clique em "click to begim..".  Aberta a animação você verá  um barco num rio. Na parte inferior temos três controles. Do lado esquerdo temos o cursor de "River velocity" para controlar a velocidade da correnteza, medida em relação à margem ( seta vermelha). No centro temos o cursor "Boat velocity" que controla a velocidade do barco, medida em relação à agua (seta azul). 

Do lado direito temos o cursor "Theta" que controla o ângulo de inclinação do barco. Note as setas. Elas representam a soma vetorial, ou a composição das velocidades. A seta preta representa a velocidade do barco medida da margem que estamos procurando. Clique em "start" para acionar a animação.

Coloque "Theta" em 0 deg. Ajuste a velocidade do barco em 10 m/s e a da correnteza em 5 m/s. A velocidade do barco em relação à margem, a seta preta, será a soma vetorial dos dois vetores de mesma direção e sentido: 15 m/s. O barco desce o rio.

Abra a animação.  Coloque "Theta" em 180 deg. Agora você tem dois vetores de igual direção e sentidos opostos. A soma vetorial das velocidades dá 5 m/s. O barco sobe o rio.

Vamos repetir o processo. Desta vez inverta a situação, isto é, faça a velocidade do barco de 5 m/s e a da correnteza a 10 m/s. A soma vetorial dá -5 m/s, isto é, o barco desce o rio de ré.

Com isto podemos responder  à pergunta feita no início do texto: Não, as medidas da velocidades não são as mesmas. O que o observador na margem do rio mede é a composição de duas velocidades, isto é, a velocidade do barco medida em relação à agua somada  a velocidade da correnteza.

Animação produzida por: B. Surendranath Reddy em General Physics Applets.

Exemplo - A direção do vetor aceleração centrípeta.

No ensino médio, começamos o estudo da cinemática pelo movimento retilíneo. Neste caso, todos os vetores envolvidos, isto é, o deslocamento, a velocidade e a aceleração, têm a direção da reta sobre a qual o corpo se desloca. O mesmo não acontece quando a tajetória do movimento é curvilínea.

Na cinemática, o movimento "natural", isto é, o movimento que se mantém sem a necessidade da aplicação de uma força, é o movimento retilíneo uniforme.

Por outro lado, as leis de Newton afirmam que o efeito da ação de uma força sobre um objeto é a variação da velocidade com que ele se move e que a aceleração é dada pela força dividida pela massa do objeto. Ora, a variação de um vetor pode se dar pela variação do seu módulo, da sua direção ou dos dois ao mesmo tempo.

Logo, se a direção ou o módulo ( ou ambos ) da velocidade de um objeto varia, podemos ter certeza, isto se dá como resultado da ação de uma força. Em outros termos: Existe uma aceleração agindo.

Num movimento de trajetória curvilínea a direção da velocidade está sempre mudando. Logo, existe uma aceleração.

Veja a animação abaixo. Temos uma carro (quadrado azul) em movimento sobre uma estrada curvilínea ( linha verde). O seu velocímetro marca sempre 80 km/h, isto é, o módulo da sua velocidade linear não varia.

Clique no botão ">" , na parte inferior à esquerda, para iniciar a animação e  em "]]" , na mesma posição, para pausar o movimento.

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A trajetória do movimento é curvilínea. Logo, a direção da velocidade muda a cada ponto. Como foi visto acima deve existir então um vetor aceleração responsável pela mudança da direção. Este vetor se chama aceleração centrípeta.

Observe que o vetor aceleração (seta vermelha), aponta sempre para o centro curva ou, se você preferir, aponta sempre para dentro da parte interna da curva.

Observe também que o tamanho da seta varia. Isto indica que o módulo da aceleração varia. Note que a seta é maior nos trechos onde a curva é mais fechada. Isto acontece porque o módulo da aceleração centrípeta é inversamente proporcional ao raio da curva. Quanto maior o raio (curva mais aberta), menor o módulo da aceleração.

Imagem: www.infoescola.com

Aula - O vetor aceleração no movimento curvilíneo uniforme.

 Num movimento só existe aceleração quando há variação do vetor velocidade. Lembre-se que estamos trabalhando com grandezas vetoriais. Logo, para verificar se existe variação temos que analisar tanto o módulo como a direção do vetor.

Imagine-se ao volante de um carro que trafega por uma estrada reta. Neste caso, a direção do vetor velocidade do carro  não muda. Assim basta olhar para o velocímetro do carro e, se verificar, por exemplo, que ele marca ao longo do tempo sempre  80 km/h, você terá certeza que a aceleração do carro é nula.

Imagine-se agora ao volante de um carro que trafega por um trecho curvo de uma estrada. Você observa o velocímetro e nota que ele está fixo na marca de 80 km/h. Então, será que agora, como no caso anterior, você pode afirmar com segurança que a aceleração é nula?

Embora o módulo do vetor velocidade não varie (a marcação do velocímetro é constante), a direção da velocidade está variando a todo instante pois a trajetória do carro é curva. Logo, existe uma aceleração e ela é a responsável pela mudança da direção do movimento.

Na animação abaixo representamos o carro (quadrado azul) numa estrada curva ( linha verde). Clique no botão ">" , na parte inferior à esquerda, para iniciar a animação e  em "]]" para pausar o movimento. Lembre-se que o velocímetro do carro sempre marca 80 km/h.

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Este tipo de movimento de trajetória curvilínea onde o módulo da velocidade linear é constante é chamado de Movimento Curvilíneo Uniforme. Nele a aceleração, chamada aceleração centrípeta, reponsável pela mudança de direção, aponta sempre para o centro da curva.

Note que a seta vermelha que representa o vetor aceleração aumenta de tamanho quando o carro trafega pelas partes mais fechadas da curva. Isto mostra que o módulo da aceleração centrípeta está variando.

Observe a figura acima. Ela mostra que o módulo da aceleração centrípeta é inversamente proporcional ao raio do trecho da curva pela qual o carro passa naquele movento, isto é, quanto mais fechada a curva maior é o módulo da aceleração.

Lembre-se: Estamos trabalhando com a velocidade linear constante.

Aula - O vetor aceleração no movimento circular uniforme.

 No movimento de um objeto só existe aceleração quando há variação do vetor velocidade. Lembre-se que estamos trabalhando com grandezas vetoriais. Logo, para verificar se existe variação temos que analisar tanto o módulo como a direção do vetor.

Imagine-se ao volante de um carro que trafega por uma estrada reta. Neste caso, a direção do vetor velocidade do carro  não muda. Assim, basta olhar para o velocímetro do carro e se verificar, por exemplo, que ele marca ao longo do tempo sempre  80 km/h, você terá certeza que a aceleração do carro é nula.

Imagine-se agora ao volante de um carro que trafega por um trecho semicircular de uma estrada. Você observa o velocímetro e nota que ele está fixo na marca de 80 km/h. Então, será que agora, como no caso anterior, você pode afirmar com segurança que a aceleração é nula?

O módulo do vetor velocidade não varie uma vez que a marcação do velocímetro é constante. Isto não basta. Temos que verificar se existe variação da direção da velocidade.

A direção da velocidade está variando a todo instante pois a trajetória do carro é circular. Logo, existe uma aceleração e ela é a responsável pela mudança da direção do movimento.

Na animação abaixo representamos o carro (quadrado azul) numa estrada semicircular ( linha verde). Clique no botão ">" , na parte inferior à esquerda para iniciar a animação e  em "]]" para pausar o movimento. Lembre-se que o velocímetro do carro sempre marca 80 km/h.

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 Este tipo de movimento de trajetória circular com o módulo da velocidade linear constante é chamado de Movimento Circular Uniforme. No MCV a aceleração, chamada aceleração centrípeta, tem módulo também constante mas a sua direção varia e o seu sentido aponta sempre para o centro da circunferência (ponto B).

Aula - O vetor velocidade e a trajetória de um objeto.

Quando surge a necessidade de  descrever uma grandeza física nosso primeiro impulso é, quase sempre, usar apenas um número e uma unidade de medida. - Comprei meio quilo de café, afirmamos. Neste caso, estas informações são plenamente suficientes como resposta a uma pergunta direta.

Isto nos parece tão natural, tão simples. A natureza, no entanto, é um pouco mais complexa. Para algumas grandezas físicas é necessário fornecer  mais algumas informações se quisermos nos fazer entender.

A velocidade, por exemplo. Observe a animação abaixo. Imagine um carro (quadrado azul) trafegando por uma estrada (linha verde). Se desejo informar-me da velocidade do veículo a cada instante de tempo devo ler o velocímetro. Ali, num dado instante, leio que a velocidade é de 80 km/h, por exemplo.

Talvez isto lhe pareça suficiente. No entanto, se desejamos descrever o movimento do carro com exatidão é conveniente informar também a direção e o sentido da velocidade.

Na animação a velocidade instantânea do carro é representada por uma seta. A cada instante a velocidade têm sempre a direção tangente à trajetória naquele ponto.

Clique no botão ">" , na parte inferior à esquerda, para iniciar a animação em "]]" para pausar o movimento.

Observe que o motorista do carro diminui a velocidade nas curvas e acelera nos trechos retos da estrada. Naturalmente esta ação provoca uma variação no módulo da velocidade.  Isto nos é informado pelo tamanho da seta vermelha que representa o vetor velocidade.

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Aula - Forças de ação à distância e o conceito de campo.

Responda com toda sinceridade: Você nunca pensou em como é esquisito este negócio de forças de ação à distância?

- Se o sol está tão longe como ele consegue atrair a Terra? Parece magia, não?

Outra coisa. A Lei da gravitação de Newton afirma que a atração gravitacional  entre dois objetos é instantânea. Isto implica que a ação de um corpo sobre o outro é transmitida com  velocidade infinita. Como assim... velocidade infinita?

Leia o que o próprio Newton escreveu numa carta a seu amigo Benthey, em 1693:

"...que um corpo possa atuar sobre outro à distância através do vácuo, sem qualquer agente intermediário que possa transmitir esta ação de um ao outro, parece-me um absurdo tão grande, que não acredito que qualquer pessoa competente para raciocinar em termos de filosofia natural ( Física ) possa acreditar nisto."

 A ideia de uma força de ação à distância não agradava ao próprio Newton.

Se não devemos acreditar na ação à distância como então se dá o processo?

A ação de um objeto sobre o outro se dá por intermédio de um campo. Podemos pensar num campo como uma modificação no espaço ao redor da fonte. Existem campos de diversos tipos: Campo gravitacional, elétrico, magnético,etc. Além disto qualquer perturbação no campo se propaga  com velocidade finita.

Por exemplo: De repente o sol desaparece. Com isto a fonte do campo gravitacional que prende a Terra a ele desaparece. Esta modificação no campo, no entanto,  leva alguns minutos para chegar até a Terra. Assim, por alguns minutos depois do sol desaparecer a Terra ainda sente o seu puxão gravitacional.

Na animação abaixo temos uma partícula com carga elétrica ( um elétron) numa antena de um transmissor de rádio e outro na antena de sua casa. Eles se repelem de acordo com a Lei de Coulomb mas não podem se afastar porque estão presos nas antenas. Digamos que o elétron do transmissor se mova. Com isto a distância entre eles muda e a força de repulsão sobre o outro elétron deve mudar também. Mas o elétron não sente a mudança imediatamente.

O elétrom no transmissor é a fonte do campo elétrico. Ao se mover ele  muda o campo elétrico. Essa mudança se propaga pelo espaço com uma velocidade finita. Pouco depois a mudança atinge o outro elétron na antena da sua casa e então,  e só então, o segundo elétrom se move em resposta a esta modificação..

Clique na imagem abaixo. Um pequeno programa pedirá autorização para ser instalado no seu computador . Aceite a instalação. Na animação as caixas "manual", "curves with vectors", "Force on electron" e "Radiated field" deverão estar marcadas.  Os elétrons são as bolas azuis nas antenas

Marque a caixa "Oscillate". O elétrom se movimenta e gera uma perturbação no campo elétrico que se propaga em direção a outra antena (curva e setas vermelhas). Note que o outro elétron só se movimenta após a chegada da oscilação do campo, algum tempo depois. O campo serve como intermediário na transmissão da mudança que ocorreu na força elétrica que age entre os dois elétrons. As setas representam o vetor campo elétrico.

Marque novamente a caixa "manual". O primeiro elétrom para. Observe que somente quando o campo deixa de oscilar sobre o outro elétrom é que este também  para.

Clique na imagem

Tradução da carta de Newton: H. M. Nussenzveig em Física Básica, v3. Ed. E.Blücher Ltda.

Animação produzida por The PhET Interactive Simulations Project da  Universidede do Colorado, Boulder.

Aula - Adição de dois vetores perpendiculares entre si.

O método gráfico de adição de vetores (modelo das setas) que estamos usando é completo. Fornece módulo, direção e sentido do vetor soma, mas para isto devemos usar uma escala conveniente. No ensino médio não damos muita importância para a escala. Geralmente nos contentamos em obter a direção, o sentido e o módulo aproximado do vetor resultante.

Em certas situações especiais podemos obter o valor do módulo com exatidão. Uma dessas situações surge quando somamos dois vetores com direções perpendiculares entre si. Neste caso os vetores e a resultante  formam um triângulo retângulo e isto nos permite calcular o módulo pelo teorema de Pitágoras.

Na animação abaixo usamos o método do paralelogramo para somar dois vetores perpendiculares entre si. Esta situação é muito comum na Física. Ela aparece quando queremos calcular as componentes perpendiculares de um vetor.Por isto você deve estudar a animação com bastantes atenção.

Na a animação clique no botão "]<<" para retornar ao início da apresentação e vá clicando no botão ">>" para avançar a apresentação passo a passo.

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Aula - Subtração de vetores. Modelo gráfico.

A subtração do vetor a pelo vetor b pode ser definida como a soma do vetor a com vetor oposto do vetor b.

Em termos matemáticos temos:

Em termos geométricos o vetor oposto é um vetor com o mesmo módulo e direção do vetor original e com sentido inverso, isto é, a seta que representa o vetor sofreu um giro de 180 graus.

Vamos usar a animação abaixo para subtrair o vetor b do vetor a. Clique no botão " ]<< " para retornar ao inicio. Clique no botão " >> "  para avançar a animação passo a passo.

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Aula - Adição de dois vetores pelo método do paralelogramo.

A adição vetorial pelo método gráfico apresenta dois caminhos para ser realizada. Um deles é o Método do Paralelogramo.

O Método do Paralelogramo é útil quando queremos realizar a adição de dois vetores. Ele segue os seguintes passos:

1. Desloque a seta que representa um dos vetores para um ponto a sua escolha ( ponto O );
2. Repita o processo com o outro vetor de tal maneira que a origem do vetor fique também sobre o ponto O;
3. Trace uma paralela ao primeiro vetor passando pela ponta do segundo vetor;
4. Trace uma paralela ao segundo vetor passando pela ponta do primeiro vetor;
5. O vetor soma, ou vetor resultante, será representado pela seta com origem no ponto O e extremidade no vértice do paralelogramo formado pelas retas e setas oposto ao do ponto O.

Na animação a seguir clique sobre o botão " >> "para iniciar. Um clique para cada passo. Para retornar ao início clique em " I<<".

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Note que ao se deslocar as setas não se deve mudar a sua direção nem o seu tamanho. Mudar a direção significa mudar o vetor.

Aula - Multiplicação de um vetor por um número.

Quando realizamos operações com grandezas vetoriais temos que levar em conta também a direção e o sentido do vetor. Além disto as operações de adição e multiplicação são definidas de maneira diferente para os vetores.

Vamos trabalhar com a multiplicação de um número real "a" por um vetor "v". Neste caso temos:

• A direção do vetor v não se altera;
• O módulo do vetor é multiplicado pelo número a;
• Se o número a que multiplica o vetor v  é positivo então o sentido do vetor v não se altera;
• Se o número a que multiplica o vetor v é negativo então o sentido do vetor v é invertido, isto é, a seta que representa o vetor v sofre um giro de 180° graus;
• Se o vetor v é multiplicado pelo número zero então o vetor v se anula, isto é, a seta que representa o vetor v degenera num ponto.

Use a animação abaixo para treinar esses conceitos. Com o mouse arraste o seletor e multiplique o vetor V pelo número "a".

Faça a = 0, verá que o vetor "a . v" se anula. Faça a = 1 e depois a = -1, verá que o vetor "a . v" não se altera no primeiro caso e inverte o sentido no segundo.

Mude o valor de "a" a seu gosto e observe o que acontece com o vetor "a . V".

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Aula - Adição de dois vetores de mesma direção e sentidos opostos.

Quando os vetores a serem somados são colineares, isto é, têm a mesma direção a aplicação do método gráfico para a adição de vetores torna-se um pouco confusa. Isto certamente é uma má notícia.

Por outro lado temos uma vantagem neste caso: Podemos calcular o módulo do vetor soma sem grandes preocupações com a escala das figuras.

Na animação é realizada a adição de dois vetores colineares e de sentidos opostos. Nela, seguimos o método do polígono. Note que desenhamos as setas dos vetores uma debaixo da outra para evitar que o desenho fique confuso.

Estude a animação passo a passo. Para retornar ao início clique no botão " I<< ". Clique no botão " >> " para avançar. Um clique para cada passo.

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Você poderá também pode calcular a soma dos vetores usando a regra alternativa a seguir. Com isto se poupa o trabalho de desenhar as setas. Ei-la :

"O vetor resultante da soma de dois vetores de mesma direção e sentidos opostos será um vetor com esta mesma direção. O sentido do vetor resultante será o mesmo do vetor de maior módulo. O módulo do vetor resultante terá o valor da diferença entre os módulos dos dois vetores que foram somados ".

Aula - Adição de dois vetores de mesma direção e sentido.

Quando os vetores a serem somados são colineares, isto é, têm a mesma direção, a aplicação do método gráfico para a adição de vetores torna-se um pouco confusa. Isto certamente é uma má notícia.

Por outro lado temos uma vantagem neste caso: Podemos calcular o módulo do vetor soma sem grandes preocupações com a escala das figuras.

Na animação abaixo somamos dois vetores colineares de mesma direção e sentido. Nela é usado o método do polígono. Note que desenhamos as setas dos vetores uma debaixo da outra para evitar que o desenho fique confuso.

Estude cada passo para realizar esta adição. Para retornar ao início da animação clique no botão " I<< ". Clique no botão " >> " para avançar. Um clique para cada passo.

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Você poderá também calcular a soma dos vetores pela regra alternativa dada a seguir. Com ela se poupa o trabalho de desenhar as setas. Ei-la:

"O vetor resultante da soma de dois vetores de mesma direção e mesmo sentido será um vetor com esta mesma direção e sentido. O módulo do vetor resultante terá o valor da soma dos módulos dos dois vetores ".

Exercício - Vetores equipolentes e vetores opostos.

Duas características da representação gráfica dos vetores merecem um cuidado especial:

• Por definição duas setas paralelas, do mesmo tamanho e apontando no mesmo sentido representam o mesmo vetor.
  
• Por definição duas setas paralelas, do mesmo tamanho e apontando para sentidos opostos representam vetores opostos. Algebricamente para obter um vetor oposto multiplicamos o vetor original por " - 1 ". Em termos geométricos esta operação equivale a dar um giro de 180° na seta.

Vamos usar a animação a seguir para estudar esses conceitos. Clique nas setas e arraste. Coloque as setas de tal modo que você possa compara-las. Depois responda:

a. Quais os critérios que se deve levar em conta para se afirmar que um vetor é igual
( ou equipolente ) a um outro vetor?

b. Os vetores D e F são vetores opostos?

c. Os vetores G e A são vetores iguais?

d. Os vetores F e E são vetores iguais?

e. Os vetores B e C são veotres opostos?

f. Os vetores G e C são vetores opostos?

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Applet construido com o solftware Livre Geogebra.

Exemplo - Representação gráfica dos vetores.

No ensino médio trabalhamos com uma representação gráfica das grandezas vetoriais: As setas. No modelo das setas o tamanho da seta, uma vez escolhida uma escala conveniente, nos dá a intensidade ( ou o módulo ) do vetor. A inclinação e a ponta da seta nos dão a direção e o sentido da grandeza vetorial representada. No nosso estudo as setas são usadas para representar grandezas vetoriais tais como a velocidade, a força, a aceleração,o campo elétrico,etc.

Uma maneira interessante de usar as setas é mostrada no mapa abaixo. É um mapa da previsão de altura significativa e direção das ondas em escala global. O mapa é feito pelo CPTEC ( Centro de previsão do tempo e estudos climáticos ) do INPE.

Note como as setas são usadas para indicar a direção das ondas. A pós uma rápida olhadela você obtém uma visão geral da movimentação da água na superfície dos oceanos naquele momento. Imagine a utilidade disto para alguém que navega pelos mares.

Além da setas usamos também as cores para transmitir informação. Note a "escala de cores" sob o gráfico. A cor azul indica as menores alturas, a vermelha as maiores. Responda depois de olhar o gráfico: Em que regiões da Terra as ondas são maiores no dia 9/03/2011?

Uma maneira ainda mais informativa de mostrar os dados é através de um gráfico animado. Nele as setas variam de tamanho e direção indicando a variação da grandeza ao longo do tempo.

Abra a animação. No painel de controle clique em "carregar a animação". Observe a variação das setas. Lembre-se que todos esses dados que estão sintetizados nas setas são na verdade colunas de números coletados pelos satélites e bóias espalhadas por todos os oceanos da Terra.

Olhar para um monte de números, se você não for um técnico, deve ser cansativo e pouco informativo. Por outro lado quando se usa um gráfico para disponibilizar os dados toda a informação chega a você de uma maneira bem mais agradável: Através da variação de uma seta.


Visite o site do INPE (Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais).

Aula - Adição de vetores pelo método do polígono.

A adição de vetores pelo método gráfico pode ser realizada de duas maneiras. Uma delas é o Método do Polígono.

O Método do Polígono é mais adequado quando queremos realizar a soma de mais de dois vetores de uma só vez. Para isto devemos seguir os seguintes passsos:

1. Desloque a seta que representa o primeiro vetor para um ponto a sua escolha (ponto O);
2. Desloque o segundo vetor de tal maneira que a sua origem fique colocada sobre a ponta do primeiro;
3. Repita o processo para cada um dos vetores;
4. O vetor soma, ou vetor resultante, será representado pela seta com origem no ponto O e extremidade (ponta) sobre a ponta do último vetor a ser deslocado.

No exemplo a seguir vamos percorrer esses passos na soma de quatro vetores. Usaremos a animação abaixo. Para retornar ao início clique no botão " I<< ". Clique no botão " >> " para avançar. Um clique para cada passo.

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A adição vetorial possui as propriedades comutativa e associativa. Portanto, não importa a ordem que você desloca as setas, o resultado será sempre o mesmo.

Exercício - Adição vetorial, propriedades comutativa e associativa .

A adição vetorial possui as propriedades comutativa e associativa. Portanto, na soma de vários vetores, não importa a ordem que se faça a operação. O resultado será sempre o mesmo.

Abra a animação. Primeiro lembre-se que, na representação gráfica dos vetores, duas setas do mesmo tamanho, mesma direção e mesmo sentido representam o mesmo vetor. Assim, clique sobre cada seta e arraste.

Respeitando as regras da adição vetorial coloque cada seta em posição. Verifique que, não importa a ordem, o resultado da operação será sempre a seta vermelha. Certifique-se disto colocando a seta vermelha na posição, isto é, o início da seta fica sobre o início do primeiro vetor ( ou primeira seta ) e a ponta sobre a ponta do último vetor ( ou última seta ).

Abra a animação e repita a soma de todas as maneiras que for capaz.

Imagem: pt.wikipedia.org

Exercício - Adição de vetores com direções perpendiculares entre si.

De maneira geral, não usamos o modelo gráfico de vetores ( modelo das setas ) para calcular o módulo do vetor. Isto pode ser feito mas exigiria certo cuidado com as escalas dos desenhos. Normalmente só usamos as "setas" para determinar a direção e o sentido.

No entanto, existem três situações especiais onde o módulo pode também ser facilmente calculado. A primeira delas é quando pretendemos somar dois vetores com mesma direção e sentido. A segunda quando os dois vetores têm mesma direção mas sentidos opostos. A terceira delas é quando os vetores a serem somados têm direções perpendiculares entre si. Neste caso a regra é:

- O vetor soma é calculado pelo algoritmos usual do modelo das setas, isto é, ponta de um vetor junto com o início do outro.


- Note que os vetores formam um triângulo retângulo. Assim o módulo do vetor soma é dado pelo Teorema de Pitágoras. O módulo de cada vetor é um dos catetos.

Abra a animação. Ajuste o tamanho dos vetores a e b através dos controles. Depois vá marcando as caixas ( clique em cada uma delas sucessivamente ) e verifique como a soma deve ser feita. A barra lateral ( em verde ) mostra o módulo do vetor soma. Teste o método fazendo a=6 e b=8 e depois faça a=4 e b=3.

Imagem: educar.sc.usp.br

Exercício - Adição de dois vetores de mesma direção e sentidos opostos.

De maneira geral, não usamos o modelo gráfico dos vetores ( modelo das setas ) para calcular o módulo do vetor. Isto pode ser feito mas exigiria certo cuidado com as escalas dos desenhos. Normalmente só usamos as "setas" para determinar a direção e o sentido.

No entanto, existem três situações especiais onde o módulo da soma de dois ou mais vetores pode também ser facilmente calculado. A primeira é quando a soma se dá entre vetores de mesma direção e sentido. A segunda delas é quando os vetores a serem somados têm a mesma direção mas os sentidos são opostos. Neste caso a regra é:

- O vetor soma tem a direção e sentido do vetor de maior módulo.

- O módulo é a diferença dos módulos dos vetores a serem somados.

Abra a animação. Ajuste o tamanho dos vetores a e b através dos controles. Depois vá marcando as caixas ( clique em cada uma delas sucessivamente ) e verifique como a soma deve ser feita. A barra lateral ( em verde ) mostra o módulo do vetor soma.


Imagem: apostiladigital.orgfree.com

Exercício - Adição de vetores de mesma direção e sentido.

De maneira geral, não usamos o modelo gráfico de vetores ( modelo das setas ) para calcular o módulo do vetor ou da soma de dois vetores. Isto pode ser feito mas exigiria certo cuidado com as escalas dos desenhos. No ensino médio é comum usar a representação gráfica ( as setas ) para determinar a direção e o sentido das grandezas vetoriais..

No entanto, existem três situações especiais onde o módulo pode ser facilmente calculado sem um cuidado especial com as escalas dos desenhos.

A primeira delas é quando os vetores a serem somados têm a mesma direção e o mesmo sentido. Neste caso a regra é:

• O vetor soma tem a mesma direção e sentido dos vetores somados.
• O módulo é a soma dos módulos de cada um deles.

Abra a animação. Ajuste o tamanho dos vetores a e b através dos controles. Depois vá marcando as caixas ( clique em cada uma delas sucessivamente ) e verifique como a soma deve ser feita. A barra lateral ( em verde ) mostra o módulo do vetor soma.

Imagem: osfundamentosdafisica.blogspot.com